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6.已知函數(shù)f(x)=|2x-3|-|x+1|.
(1)若不等式f(x)≤a的解集是空集,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若存在x0∈R,使得2f(x0)≤-t2+4|t|成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

分析 (1)通過(guò)討論x的范圍,求出各個(gè)區(qū)間上的函數(shù)的最小值,求出f(x)的最小值,求出a的范圍即可;
(2)求出f(x)的最小值,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為-t2+4|t|+5≥0,求出t的范圍即可.

解答 解:(1)x≥32時(shí),f(x)=2x-3-x-1=x-4,
此時(shí),f(x)的最小值是f(32)=-52,
-1≤x≤32時(shí),f(x)=3-2x-x-1=-3x+2,
此時(shí),f(x)的最小值是f(32)=-52,
x≤-1時(shí),f(x)=3-2x+x+1=-x+4,
此時(shí),f(x)的最小值是f(-1)=5,
綜上,f(x)的最小值是-52,
若不等式f(x)≤a的解集是空集,
則a<-52;
(2)若存在x0∈R,使得2f(x0)≤-t2+4|t|成立,
只需求出f(x)的最小值,由(1)f(x)的最小值是-52,
問(wèn)題轉(zhuǎn)化為-t2+4|t|+5≥0,
即t2-4|t|-5≤0,即(|t|-5)(|t|+1)≤0,
解得:-5≤t≤5.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問(wèn)題,考查分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,是一道中檔題.

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