已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=2an-2(n=1,2,3…),數(shù)列{bn}中,b1=1,點P(bn,bn+1)在直線x-y+2=0上.
(Ⅰ)求數(shù)列{an},{bn}的通項an和bn;
(Ⅱ) 設cn=an•bn,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn,并求滿足Tn<55的最大正整數(shù)n.
考點:數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)①“當n=1時,a1=S1;當n≥2時,an=Sn-Sn-1”,再利用等比數(shù)列的通項公式即可得出;
②在數(shù)列{bn}中,b1=1,點P(bn,bn+1)在直線x-y+2=0上.可得bn+1-bn=2.再利用等差數(shù)列的通項公式即可得出.
(2)再利用“錯位相減法”即可得出.
解答: 解:(1)①當n=1時,a1=S1=2a1-2,解得a1=2.
∵Sn=2an-2,
∴當n≥2時,Sn-1=2an-1-2.
∴an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,
化為
an
an-1
=2

∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
an=a1qn-1=2×2n-1=2n
②數(shù)列{bn}中,b1=1,點P(bn,bn+1)在直線x-y+2=0上.
∴bn-bn+1+2=0,即bn+1-bn=2.
∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,
∴bn=b1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.
(II)∵cn=an•bn=(2n-1)•2n
∴Tn=1×21+3×22+5×23+…+(2n-3)•2n-1+(2n-1)•2n,
2Tn=1×22+3×22+…+(2n-3)×2n+(2n-1)×2n+1
∴-Tn=2+2×(22+23+…+2n)-(2n-1)•2n+1=2+2×
4×(2n-1-1)
2-1
-(2n-1)•2n+1

=(3-2n)•2n+1-6,
Tn=(2n-3)•2n+1+6
由Tn<55可得(2n-3)•2n+1+6<55,化為(2n-3)•2n+1<49.
當n=3時,左邊=(2×3-3)×24=48<49=右邊,
而當n=4時,左邊=(2×4-3)×25=5×32>49=右邊.
因此滿足Tn<55的最大正整數(shù)n=3.
點評:本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”等基礎知識與基本技能方法,屬于難題.
練習冊系列答案
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函數(shù)y=2sin(2x+
π
6
)的圖象向左平移φ(φ>0)個單位后所得的圖象關(guān)于y軸對稱,則φ的最小值為( �。�
A、
6
B、
3
C、
π
3
D、
π
6

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知向量
a
=(-2,-1),
b
=(λ,1),則
a
b
夾角θ為鈍角時,λ的取值范圍為( �。�
A、λ>
1
2
B、λ<-
1
2
C、λ>-
1
2
且λ≠2
D、無法確定

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知集合A={x|a-1<x<2a+1},B={x|0<x<5},若A∪B=B,求實數(shù)a的取值范圍.

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一中食堂有一個面食窗口,假設學生買飯所需的時間互相獨立,且都是整數(shù)分鐘,對以往學生買飯所需的時間統(tǒng)計結(jié)果如下:
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(文科)(1)求第2分鐘末沒有人買晚飯的概率;
       (2)估計第三個學生恰好等待4分鐘開始買飯的概率.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=
1
2
-
1
2
sin2x

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和對稱中心;
(2)設函數(shù)g(x)對任意x∈R,有g(x+
π
2
)=g(x)
,且當x∈[0,
π
2
]
時,g(x)=
1
2
-f(x)
,求函數(shù)g(x)在[-π,0]上的解析式.
(3)在(2)的條件下,若對任意的x1∈[
π
6
,任意的x2∈[-
π
3
,都有f(x1)>g(x2)+m,求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設x∈R,向量
a
=(1,2),
b
=(x,1)
(Ⅰ)當
a
+2
b
與2
a
-
b
平行時,求x;
(Ⅱ)當
a
+2
b
與2
a
-
b
垂直時,求|
a
+
b
|.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

矩形ABCD的中心在坐標原點,邊AB與x軸平行,AB=8,BC=6.E,F(xiàn),G,H分別是矩形四條邊的中點,R,S,T是線段OF的四等分點,R′,S′,T′是線段CF的四等分點.設直線ER與GR′,ES與GS′,ET與GT′的交點依次為L,M,N.
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(2)根據(jù)條件可判定點L,M,N都在(1)中的橢圓Q上,請以點L為例,給出證明(即證明點L在橢圓Q上).
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如圖所示:AB是半徑為1的圓O的直徑,BC,CD是圓O的切線,B,D為切點,若∠ABD=30°,則AD•OC的值為
 

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