已知四面體ABCD的棱長(zhǎng)都相等,E、F、G、H分別為AB、AC、AD以及BC的中點(diǎn),求證:面EHG⊥面FHG.
考點(diǎn):平面與平面垂直的判定
專(zhuān)題:空間位置關(guān)系與距離
分析:首先通過(guò)設(shè)棱長(zhǎng)證出△EGH是直角三角形,做GH中點(diǎn)K,連EK,可得EK=
2
,同理可得FK=
2
,在△EKF中,EF=2,EK=
2
,F(xiàn)K=
2
所以△EKF是直角三角形,即EK⊥FK,最后通過(guò)線線垂直,進(jìn)一步得出線面垂直,最終得出結(jié)論.
解答: 證明:四面體ABCD的棱長(zhǎng)都相等,E、F、G、H分別為AB、AC、AD以及BC的中點(diǎn),
設(shè)棱長(zhǎng)AB=4
在直角△AGH中,利用勾股定理可得:GH=2
2

在△EHG中,EH=EG=2,所以根據(jù)勾股定理的逆定理得:△EGH是直角三角形
取GH中點(diǎn)K,連EK,可得EK=
2

同理可得FK=
2

在△EKF中,EF=2,EK=
2
,F(xiàn)K=
2

所以△EKF是直角三角形,即EK⊥FK,
又EK⊥GH,F(xiàn)K⊥GH,
EK⊥平面FGH
EK在平面EGH內(nèi)
則面EHG⊥面FHG
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn):勾股定理和逆定理的應(yīng)用,線面垂直的判定,面面垂直的判定以及相關(guān)的運(yùn)算問(wèn)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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2+x
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2

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(2)是否存在區(qū)間[a,b],使得函數(shù)f(x)的定義域和值域?yàn)閇a,b]?若存在,求出這樣的一個(gè)區(qū)間[a,b];若不存在,則說(shuō)明理由;
(3)若數(shù)列{an}滿足:a1≥1,an+1≥f′(an+1),試比較
1
1+a1
+
1
1+a2
+
1
1+a3
+…+
1
1+an
與1的大小關(guān)系,并說(shuō)明理由.

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π
4
+x)-
3
cos2x.
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(2)求f(x)的最大值和最小值;
(3)若不等式f(x)-m<2恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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