Question

如圖，已知點G是△ABC的重心（即三角形各邊中線的交點），過點G作直線與AB、AC兩邊分別交于M、N兩點，若

AM

=x

AB

，

AN

=y

AC

，則

1

x

+

1

y

=3，由平面圖形類比到空間圖形，設任一經過三棱錐P-ABC的重心G（即各個面的重心與該面所對頂點連線的交點）的平面分別與三條側棱交于A₁、B₁、C₁，且

PA1

=x

PA

，

PB1

=y

PB

，

PC1

=z

PC

，則有

1

x

+

1

y

+

1

z

=

 

．

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：計算題,探究型

分析：利用平面的向量表示式，可知存在實數λ，μ，γ，且λ+μ+γ=1，使得

PG

=λ

PA1

+μ

PB1

+γ

PC1

．而

PG

=

3

4

(

1

3

PA

+

1

3

PB

+

1

3

PC

)，建立λ，μ，γ與x，y，z的聯(lián)系，整體構造出

1

x

+

1

y

+

1

z

求解．

解答： 解：由于G，A₁、B₁、C₁，四點共面，所以存在實數λ，μ，γ，且λ+μ+γ=1，
使得

PG

=λ

PA1

+μ

PB1

+γ

PC1

=λx

PA

+μy

PB

+γz

PC

而

PG

=

3

4

(

1

3

PA

+

1

3

PB

+

1

3

PC

)，所以

λx= 1 4 μy= 1 4 γz= 1 4

，
從而λ+μ+γ=4（

1

x

+

1

y

+

1

z

）=1，所以

1

x

+

1

y

+

1

z

=4
故答案為：4．

點評：本題考查空間向量的表示，向量共面的性質．思維難度較大．