Question

已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ=4cosθ，直線l的參數(shù)方程為

x=tcosα y=1+tsinα

（t為參數(shù)，0≤α＜π）．
（Ⅰ）把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并說明曲線C的形狀；
（Ⅱ）若直線l經(jīng)過點(diǎn)（1，0），求直線l被曲線C截得的線段AB的長．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）把ρsin²θ=4cosθ化為直角坐標(biāo)方程為y²=4x，可得曲線C的形狀．
（Ⅱ）根據(jù)直線l過點(diǎn)（1，0）和點(diǎn)（0，1），可得直線l的斜率為-1，傾斜角α=

3π

4

，把直線l的參數(shù)方程代入y²=4x化簡，利用韋達(dá)定理求得AB=|t₁-t₂|的值．

解答： 解：（Ⅰ）由ρsin²θ=4cosθ可得ρ²sin²θ=4ρcosθ，∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為y²=4x，
從而曲線C的形狀是頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為（1，0）的拋物線．
（Ⅱ）∵直線l過點(diǎn)（1，0）和點(diǎn)（0，1），∴直線l的斜率為-1，從而其傾斜角α=

3π

4

，
∴直線l的參數(shù)方程為

x=- 2 2 t y=1+ 2 2 t

（t為參數(shù)），代入y²=4x，化簡可得t2+6

2

t+2=0，
設(shè)點(diǎn)A、B對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁、t₂，則 t₁+t₂=-6

2

，t₁•t₂=2，
∴|AB|=|t1-t2|=

(t1+t2)2-4t1t2

=8．

點(diǎn)評：本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程的方法，韋達(dá)定理的應(yīng)用，參數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．