已知f(x)=在區(qū)間[-1,1]上是增函數(shù).
(Ⅰ)求實數(shù)a的值組成的集合A;
(Ⅱ)設關于x的方程f(x)=的兩個非零實根為x1、x2.試問:是否存在實數(shù)m,使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求m的取值范圍;若不存在,請說明理由.
【答案】分析:(Ⅰ)直接求出函數(shù)的導函數(shù),轉化成不等式恒成立問題解決即可;
(Ⅱ)利用韋達定理先求出|x1-x2|,變?yōu)椴坏仁胶愠闪栴},再構造函數(shù)利用函數(shù)的導數(shù)求最值即可解決.
解答:解:(Ⅰ)f'(x)=4+2ax-2x2,∵f(x)在[-1,1]上是增函數(shù),
∴f'(x)≥0對x∈[-1,1]恒成立,
即x2-ax-2≤0對x∈[-1,1]恒成立.①
設φ(x)=x2-ax-2,
①??-1≤a≤1,
∵對x∈[-1,1],只有當a=1時,f'(-1)=0以及當a=-1時,f'(1)=0
∴A={a|-1≤a≤1}.

(Ⅱ)由,得x=0,或x2-ax-2=0,
∵△=a2+8>0
∴x1,x2是方程x2-ax-2=0的兩非零實根,x1+x2=a,x1x2=-2,
從而|x1-x2|=
∵-1≤a≤1,∴|x1-x2|=≤3.
要使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,
當且僅當m2+tm+1≥3對任意t∈[-1,1]恒成立,
即m2+tm-2≥0對任意t∈[-1,1]恒成立.②
設g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2),
②?g(-1)=m2-m-2≥0且g(1)=m2+m-2≥0,
?m≥2或m≤-2.
所以,存在實數(shù)m,使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,
其取值范圍是{m|m≥2,或m≤-2}.
點評:本題主要考查函數(shù)的單調性,導數(shù)的應用和不等式等有關知識,考查數(shù)形結合及分類討論思想和靈活運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力.
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  3. C.
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  4. D.
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