Question

如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知底面ABCD邊長為2，側(cè)棱AA₁=6．
（1）點(diǎn)P在側(cè)棱AA₁上，若AP=

1

3

，求證：平面PBD⊥平面C₁BD；
（2）求幾何體BA₁C₁D的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O，連結(jié)C₁O，PO，證明C₁O⊥BD，C₁O⊥OP，可得C₁O⊥平面PBD，即可證明平面PBD⊥平面C₁BD；
（2）幾何體BA₁C₁D的體積等于正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積減去4個(gè)角落的體積．

解答： （1）證明：連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O，連結(jié)C₁O，PO
∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，
∴C₁C⊥平面ABCD且O為BD、AC中點(diǎn)，
∴C₁C⊥CD，C₁C⊥BC
又∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，
∴CD=CB，∴C₁D=C₁B，
∴C₁O⊥BD
又C1O=

( 2 )2+62

=

38

，
PO=

OA2+PA2

=

( 2 )2+( 1 3 )2

=

19 9

，
PC1=

A1P2+A1C12

=

(6- 1 3 )2+(2 2 )2

=

361 9

，
C1O2+PO2=8+

19

9

=

38×9+19

9

=

361

9

=PC12
∴C₁O⊥OP，
∵OP∩BD=0
∴C₁O⊥平面PBD　　　
又∵C₁O?平面C₁BD
∴平面PBD⊥平面C₁BD…（6分）
（2）解：V_BA1C1D等于正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積減去4個(gè)角落的體積，
設(shè)正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積為V
∴V_BA1C1D=V-

1

6

V×4=

1

3

V=

1

3

×2×2×6=8…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面與平面垂直的判定，體積的計(jì)算，其中熟練掌握面面垂直的判定定理及證明步驟是解答本題的關(guān)鍵．