Question

已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c滿足條件：函數(shù)圖象過原點，f（1+x）=f（1-x）且方程f（x）=x有兩個相等實根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在[t，t+1]上是單調函數(shù)，求t的取值范圍
（3）當x∈[-1，+∞）時，f（x）≥2（a-1）x+a+

1

4

恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)單調性的判斷與證明,函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）利用二次函數(shù)的對稱軸方程求得b，利用判別式等于零求得c，從而求得函數(shù)的解析式．
（2）由于二次函數(shù)f（x）的對稱軸為x=1，函數(shù)在[t，t+1]上是單調函數(shù)，可得t≥1，或t+1≤1，由此求得t的范圍．
（3）由題意可得，當x∈[-1，+∞）時，x²-2ax+2-a≥0 恒成立．令h（x）=x²-2ax+2-a，則h（x）的對稱軸為 x=a．分當a≤-1時和當a＞-1時兩種情況，由函數(shù)h（x）的最小值大于或等于0，求得a的范圍．

解答： 解：（1）f（1+x）=f（1-x）可得函數(shù)的對稱軸為x=-

b

2

=1，∴b=-2．
方程f（x）=x有兩個相等的實根，可得x²-2x+c=x有兩個相等的實根，
即 x² -3x+c=0有兩個相等的實根，
故△=（-3）²-4c=0，解得c=

9

4

，f（x）=x²-2x+

9

4

，
（2）由于二次函數(shù)f（x）的對稱軸為x=1，函數(shù)在[t，t+1]上是單調函數(shù)，則有t≥1，或t+1≤1，
解得t≥1，或t≤0，即t的范圍為{t|t≥1，或t≤0}．
（3）當x∈[-1，+∞）時，f（x）≥2（a-1）x+a+

1

4

恒成立，即 x²-2ax+2-a≥0 恒成立．
令h（x）=x²-2ax+2-a，則h（x）的對稱軸為 x=a．
當a≤-1時，h（x）在[-1，+∞）上是增函數(shù)，由h（0）=2-a≥0，求得a≤2，
綜合可得 a≤-1．
當a＞-1時，由題意可得函數(shù)h（x）的最小值h（a）=2-a²-a≥0，求得-2≤a≤1，
綜合可得-1＜a≤1．
綜上可得，a≤1．

點評：本題主要考查二次函數(shù)的性質，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了分類討論、轉化的數(shù)學思想，屬于基礎題．