Question

已知直線l過點P(3,2),且與x軸和y軸的正半軸分別交于A、B兩點.求|PA|·|PB|的值為最小時的直線l的方程.

Answer 1

思路分析：本題可以使用直線的參數方程來解,也可以使用參數方程來解,但是使用普通方程解,運算較為麻煩.如果設出直線的傾斜角,寫出直線的參數方程來解,就可以把問題轉化為三角函數的最小值問題,便于計算.

解：設直線的傾斜角為α,則它的方程為(t為參數),

由A、B是坐標軸上的點知y_A=0,x_B=0,∴0=2+tsinα,即|PA|=|t|=,0=3+tcosα,

即|PB|=|t|=.故|PA|·|PB|=()=.

∵90°＜α＜180°,

∴當2α=270°,即α=135°時,|PA|·|PB|有最小值.

∴直線方程為(t為參數),化為普通方程即x+y-5=0.

    拓展延伸 直線的參數方程和普通方程可以進行互化,特別是要求直線上某一定點到直線與曲線交點距離時通常要使用參數的幾何意義,宜用參數方程的標準形式,而對于某些比較簡單的直線問題比如求直線和坐標軸或者與某條直線交點時宜用直線的普通方程.