Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A₁，A₂，上、下頂點分別為 B₁，B₂，左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為e．
（l）若|A₁B₁|=

15

，設(shè)四邊形B₁F₁B₂F₂的面積為S₁，四邊形A₁B₁A₂B₂的面積為S₂，且S₁=

3

2

S₂，求橢圓C的方程；
（2）若F₂（3，0），設(shè)直線y=kx與橢圓C相交于P，Q兩點，M，N分別為線段PF₂，QF₂的中點，坐標原點O在MN為直徑的圓上，且

2

2

＜e≤

3

2

，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由|A₁B₁|=

15

，可得a²+b²=15，由S₁=

3

2

S₂，可得2c=

3

a，聯(lián)立

a2+b2=15 2c= 3 a a2=b2+c2

，解得即可；
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直線方程與橢圓的方程聯(lián)可得根與系數(shù)的關(guān)系．由題意可知：OM⊥ON，且OMF₂N為矩形，可得PF₂⊥QF₂，利用

F2P

•

F2Q

=0，可得k與a的關(guān)系，利用

2

2

＜e≤

3

2

，可得12≤a²＜18，即可得出k的取值范圍．

解答： 解：（1）∵|A₁B₁|=

15

，∴a²+b²=15，
由S₁=

3

2

S₂，可得2bc=

3

2

×2ab，化為2c=

3

a，
聯(lián)立

a2+b2=15 2c= 3 a a2=b2+c2

，
解得a²=12，b²=3，c=3．
∴橢圓C的方程為

x2

12

+

y2

3

=1．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯(lián)立

x2 a2 + y2 b2 =1 y=kx

，化為（b²+a²k²）x²=a²b²，
∴x₁+x₂=0，x1x2=

-a2b2

b2+a2k2

．
由題意可知：OM⊥ON，且OMF₂N為矩形，
∴PF₂⊥QF₂，而

F2P

=（x₁-3，y₁），

F2Q

=（x₂-3，y₂），
∴

F2P

•

F2Q

=（x₁-3）•（x₂-3）+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+9=0，
即

-a2(a2-9)(1+k2)

a2k2+(a2-9)

+9=0，
∴k2=-1-

81

a4-18a2

，
∵

2

2

＜e≤

3

2

，
∴12≤a²＜18，可得k2≥

1

8

，
∴k∈(-∞，-

2

4

]∪[

2

4

，+∞)．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、矩形的性質(zhì)，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．