已知，點(diǎn)A(s,f(s)), B(t,f(t))

  (I) 若,求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(II)若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足：當(dāng)|x|≤1時，有||≤恒成立，求函數(shù)的解析表達(dá)式；

(III)若0<a<b, 函數(shù)在和處取得極值，且,證明：與不可能垂直.

(I) f(x)的增區(qū)間是(-∞，)和[1,+ ∞]. …………………………3分

(II) f(x)=x3x. ……………………9分

(III) 證明見解析


解析:

(I) f (x)=x3-2x2+x, (x)=3x2-4x+1,

           因為f(x)單調(diào)遞增，

所以(x)≥0，

即 3x2-4x+1≥0,

解得，x≥1, 或x≤,……………………………2分

故f(x)的增區(qū)間是(-∞，)和[1,+ ∞]. …………………………3分

(II) (x)=3x2-2(a+b)x+ab.

     當(dāng)x∈[-1，1]時，恒有|(x)|≤.………………………4分

     故有≤(1)≤，

       ≤(-1)≤，

       ≤(0)≤,………………………5

    即     ………6

①+②，得

≤ab≤，……………………………8分

又由③，得

    ab=，

將上式代回①和②，得

  a+b=0,

故f(x)=x3x. ……………………9分

(III) 假設(shè)⊥,

 即= = st+f(s)f(t)=0, ……………10分

(s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1,

 [st-(s+t)a+a2][st-(s+t)b+b2]=-1, ……………………………………11分

 由s，t為(x)=0的兩根可得，

     s+t=(a+b), st=, (0<a<b),

 從而有ab(a-b)2=9. ……………………………………12分

 這樣(a+b)2=(a-b)2+4ab

              = +4ab≥2=12，

即 a+b≥2,

這樣與a+b<2矛盾. ……………………13分

故與不可能垂直.

練習(xí)冊系列答案
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（2012•上海）定義向量
OM
=（a，b）的“相伴函數(shù)”為f（x）=asinx+bcosx，函數(shù)f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”為
OM
=（a，b）（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為S．
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π
2
）+4sinx，求證：g（x）∈S；
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（3）已知M（a，b）（b≠0）為圓C：（x-2）2+y2=1上一點(diǎn)，向量
OM
的“相伴函數(shù)”f（x）在x=x0處取得最大值．當(dāng)點(diǎn)M在圓C上運(yùn)動時，求tan2x0的取值范圍．

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(1)

求動點(diǎn)M的軌跡方程；

(2)

若動點(diǎn)M的軌跡在x軸上方的部分與圓心在C(a＋4,0)，半經(jīng)為4的圓相交兩點(diǎn)S、T，求證：C落在以S、T為焦點(diǎn)過F的橢圓上．

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（1）求動點(diǎn)M的軌跡;

（2）若動點(diǎn)M的軌跡在x軸上方的部分與圓心在C(a+4,0),半徑為4的圓相交于兩點(diǎn)S、T，求證：C落在以S、T為焦點(diǎn)過F的橢圓上.

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已知f(x)=x(x-a)(x-b),點(diǎn)A(s,f(s)),B(t,f(t)).

(1)若a=b=1,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)滿足:當(dāng)|x|≤1時,有|f′(x)|≤恒成立,求函數(shù)f(x)的解析表達(dá)式;

(3)若0＜a＜b,函數(shù)f(x)在x=s和x=t處取得極值,且a+b＜2,證明與不可能垂直.

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