(a>b>0)如圖,已知橢圓C:的左、右焦點分別為F1、F2,離心率為,點A是橢圓上任一點,△AF1F2的周長為
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點Q(-4,0)任作一動直線l交橢圓C于M,N兩點,記,若在線段MN上取一點R,使得,則當直線l轉(zhuǎn)動時,點R在某一定直線上運動,求該定直線的方程.

【答案】分析:(I)利用橢圓的定義、及b2=a2-c2即可解出;
(II)由題意知,直線l的斜率必存在,設其方程為y=k(x+4),M(x1,y1),N(x2,y2).把直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系,再利用向量,即可得出坐標之間的關(guān)系,消去λ及k即可得出結(jié)論.
解答:解(Ⅰ)∵△AF1F2的周長為,
∴2a+2c=,即
,解得a=2,,b2=a2-c2=1.
∴橢圓C的方程為
(Ⅱ)由題意知,直線l的斜率必存在,
設其方程為y=k(x+4),M(x1,y1),N(x2,y2).

得(1+4k2)x2+32k2x+64k2-4=0.
由題意△=(32k22-4(1+4k2)(64k2-4)>0,即12k2-1<0.
,
,得(-4-x1,-y1)=(x2+4,y2),
∴-4-x1=λ(x2+4),∴
設點R的坐標為(x,y),由
得(x-x1,y-y1)=-λ(x2-x,y2-y),
∴x-x1=-λ(x2-x),
解得==,
而2x1x2+4(x1+x2)==-,
,
,
故點R在定直線x=-1上.
點評:本題考查了橢圓的定義、標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、根與系數(shù)的關(guān)系、向量的運算性質(zhì)等基礎知識與基本技能,考查了分類討論的思想方法、推理能力和計算能力.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知半橢圓
x2
b2
+
y2
a2
=1 (y≥0)
和半圓x2+y2=b2(y≤0)組成曲線C,其中a>b>0;如圖,半橢圓
x2
b2
+
y2
a2
=1 (y≥0)
內(nèi)切于矩形ABCD,且CD交y軸于點G,點P是半圓x2+y2=b2(y≤0)上異于A,B的任意一點,當點P位于點M(
6
3
,-
3
3
)
時,△AGP的面積最大.
(1)求曲線C的方程;
(2)連PC、PD交AB分別于點E、F,求證:AE2+BF2為定值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)圓錐曲線上任意兩點連成的線段稱為弦.若圓錐曲線上的一條弦垂直于其對稱軸,我們將該弦稱之為曲線的垂軸弦.已知點P(x0,y0)、M(m,n)是圓錐曲線C上不與頂點重合的任意兩點,MN是垂直于x軸的一條垂軸弦,直線MP、NP分別交x軸于點E(xE,0)和點F(xF,0).
(1)試用x0,y0,m,n的代數(shù)式分別表示xE和xF;
(2)若C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
(如圖),求證:xE•xF是與MN和點P位置無關(guān)的定值;
(3)請選定一條除橢圓外的圓錐曲線C,試探究xE和xF經(jīng)過某種四則運算(加、減、乘、除),其結(jié)果是否是與MN和點P位置無關(guān)的定值,寫出你的研究結(jié)論并證明.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

圓錐曲線上任意兩點連成的線段稱為弦.若圓錐曲線上的一條弦垂直于其對稱軸,我們將該弦稱之為曲線的垂軸弦.已知點P(
x0,y0)、M(m,n)是圓錐曲線C上不與頂點重合的任意兩點,MN是垂直于x軸的一條垂軸弦,直線MP,NP分別交x軸于點E(xE,0)和點F(xF,0).
(Ⅰ)試用x0,y0,m,n的代數(shù)式分別表示xE和xF
(Ⅱ)已知“若點P(x0,y0)是圓C:x2+y2=R2上的任意一點(
x0•y0≠0),MN是垂直于x軸的垂軸弦,直線MP、NP分別交x軸于點E(xE,0)和點F(xF,0),則xExF=R2”.類比這一結(jié)論,我們猜想:“若曲線C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
(如圖),則xE•xF也是與點M、N、P位置無關(guān)的定值”,請你對該猜想給出證明.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•臨沂二模)
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)如圖,已知橢圓C:的左、右焦點分別為F1、F2,離心率為
3
2
,點A是橢圓上任一點,△AF1F2的周長為4+2
3

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點Q(-4,0)任作一動直線l交橢圓C于M,N兩點,記
MQ
QN
,若在線段MN上取一點R,使得
MR
=-λ
RN
,則當直線l轉(zhuǎn)動時,點R在某一定直線上運動,求該定直線的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源:2010年江蘇省揚州市高考數(shù)學二�?荚嚇泳�1(解析版) 題型:解答題

已知半橢圓和半圓x2+y2=b2(y≤0)組成曲線C,其中a>b>0;如圖,半橢圓內(nèi)切于矩形ABCD,且CD交y軸于點G,點P是半圓x2+y2=b2(y≤0)上異于A,B的任意一點,當點P位于點時,△AGP的面積最大.
(1)求曲線C的方程;
(2)連PC、PD交AB分別于點E、F,求證:AE2+BF2為定值.

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