Question

已知圓M：（x-2）²+y²=1，Q是直線y=x上的動點，QA、QB與圓M相切，切點分別為點A、B．
（1）若點Q的坐標(biāo)為（0，0），求切線QA、QB的方程；
（2）若點Q的坐標(biāo)為（t，t），t∈R，求直線AB的方程．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（1）由題意知當(dāng)點Q的坐標(biāo)為（0，0）時，設(shè)切線方程為y=kx，圓心到切線的距離d=

|2k|

1+k2

=1，由此能求出切線QA、QB的方程．
（2）設(shè)切線QA、QB的切點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由QA⊥MA，知切線QA的斜率kQA=-

x1-2

y1

，y₁≠0，由此能求出切線QA的方程為yy1+(x1-2)x=y12+(x1-2)x1，由此入手能求出直線AB的方程．

解答： 解：（1）由題意可知當(dāng)點Q的坐標(biāo)為（0，0）時，
切線的斜率存在，可設(shè)切線方程為y=kx．…（1分）
則圓心到切線的距離d=

|2k|

1+k2

=1，
即4k²=1+k²，k=±

3

3

，…（3分）
∴切線QA、QB的方程為y=±

3

3

x．…（5分）
（2）設(shè)切線QA、QB的切點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵QA⊥MA，則切線QA的斜率為kQA=-

x1-2

y1

，y₁≠0，…（6分）
則切線QA的方程為y-y₁=-

x1-2

y1

(x-x1)．…（7分）
化簡為yy1-y12=-(x1-2)x+(x1-2)x1，
即yy1+(x1-2)x=y12+(x1-2)x1，
∵點A（x₁，y₁）在圓M：（x-2）²+y²=1上，
得yy₁+（x₁-2）x-2x₁=-3，…（8分）
又∵Q（t，t）在切線QA上，∴ty₁+（t-2）x₁=2t-3，①…（9分）
同理得ty₂+（t-2）x₂=2t-3，②…（10分）
由①②可知直線（t-2）x+ty=2t-3過點A，B，
∴直線AB的方程為（t-2）x+ty=2t-3，…（12分）
特別當(dāng)y₁=0時，x₁=1或x₁=3，
當(dāng)x₁=1時，切線QA的方程為x=1，解得t=1，得切點B（2，1），
此時AB的方程為x-y=1上式也成立，
當(dāng)x₁=3時，得t=3，經(jīng)檢驗方程也成立，
綜上所述，直線AB的方程為（t-2）x+ty=2t-3．…（14分）

點評：本題考查圓的切線方程和直線方程的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．