Question

已知函數(shù)（a≠0）滿足，為偶函數(shù)，且x＝－2是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)．又（＞0）．

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）若關(guān)于x 的方程在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）令，求的單調(diào)區(qū)間．

 

Answer 1

（1）函數(shù)的解析式為； （2）實(shí)數(shù)的取值范圍為；

（3）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為和；

單調(diào)遞增區(qū)間為和．

【解析】

試題分析：（1）由得，又為偶函數(shù)，是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，得出關(guān)于的方程，即可求函數(shù)的解析式；

（2）在上有解，等價(jià)于在上有解，可求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）先求出的解析式，再分、兩種情況求出的單調(diào)區(qū)間．

（1）由得 1分

∵即

又∵為偶函數(shù)　　∴�、� 2分

∵是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)　∴　∴�、�

解①②得a＝1，b＝－2

∴ 4分

（2）在上有解，即在上有解．

∴

∵在上單調(diào)遞增

∴實(shí)數(shù)的取值范圍為 8分

（3）即

9分

①當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸為

∵m>0 ∴ 總成立　

∴在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增． 11分

②當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸為

若即，在單調(diào)遞減 13分

若即，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增． 15分

綜上，

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為和；單調(diào)遞增區(qū)間為和． 16分

考點(diǎn)：函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用、分類討論思想.