已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0．

求證：cos(α－β)＝－．

答案：
解析：

　　證明∵sinα＋sinβ＋sinγ＝0，∴sinα＋sinβ＝－sinγ．①

　　又∵cosα＋cosβ＋cosγ＝0，∴cosα＋cosβ＝－cosγ．②

　　②2＋①2得：(cosα＋cosβ)2＋(sinα＋sinβ)2＝cos2γ＋sin2γ＝1．

　　∴cos2α＋2cosαcosβ＋cos2β＋sin2α＋2sinαsinβ＋sin2β＝1，

　　∴2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝－1，

　　∴cos(α－β)＝－．

　　分析：已知條件是關(guān)于α、β、γ的正弦和余弦之間的關(guān)系．而結(jié)論中只有α、β，因此證題的突破口是如何消去sinγ、cosγ．


提示：

要善于觀察、比較條件與結(jié)論的關(guān)系．利用sin2γ＋cos2γ＝1成功消去了條件中的sinγ、cosγ，再反用兩角差的余弦公式即可．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）已知sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0，求cos（β-γ）的值．
（2）若sinα+sinβ=
2
2
，求cosα+cosβ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知sin(α+
π
3
)+sinα=-
4
3
5
，則cos(α+
2π
3
)=
4
5
4
5
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知sinα=
3
5
，α∈（
π
2
，π），cosβ=-
5
13
，β是第三象限的角．
（1）求cos（α-β）的值；
（2）求sin（α+β）的值；
（3）求tan2α的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知sin（α+π）＜0，cos（α-π）＞0，則下列不等關(guān)系中必定成立的是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

以下四個(gè)命題：
①f（x）=3cos（2x-
π
3
)的對(duì)稱軸為x=
π
6
+
kπ
2
(k∈Z)；
②g（x）=2sin（
π
6
-x）的遞增區(qū)間是[-
π
3
+2kπ，
2π
3
+2kπ]；
③已知
sinα+cosα
sinα-cosα
=3且tan(α-β)=2，則tan(β-2α)=
4
3

④若θ是第二象限角，則tan
θ
2
＞cot
θ
2
且sin
θ
2
＞cos
θ
2

其中，正確命題的序號(hào)為
①③
①③
．

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