【題目】如圖,在直三棱柱中,
,
,
是
的中點(diǎn).
(1)求證:平面
;
(2)求二面角的余弦值;
(3)試問(wèn)線段上是否存在點(diǎn)
,使
與面
所成角的正弦值為
?若存在,求出此時(shí)
的長(zhǎng),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2);(3)不存在,理由見(jiàn)解析
【解析】
(1)連接交
于點(diǎn)
,得
是
的中位線,再由線面平行的判定定理即可證明;
(2)建立直角坐標(biāo)系,由兩個(gè)平面的法向量的夾角即可得出二面角;
(3)設(shè)點(diǎn),
,表示出向量
,由線面角的夾角公式求出
的值即可判斷.
(1)如圖,連接交
于點(diǎn)
,
因?yàn)?/span>是直三棱柱,所以四邊形
是矩形,
點(diǎn)為
的中點(diǎn),又
為
中點(diǎn),
所以是
的中位線,所以
,
又平面
,
平面
,
所以平面
;
(2)因?yàn)?/span>是直三棱柱,
,所以
、
、
兩兩垂直,
如圖建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)
,
則,
,
,
所以,
,
設(shè)平面的法向量
,則
,令
,則
,
,
所以,
易知平面的法向量
,
由二面角是銳角,
所以,
即二面角的余弦值為
;
(3)設(shè)線段上存在點(diǎn)
,
,
則,
由(2)知,平面平面的法向量
,
因?yàn)?/span>與面
所成角的正弦值為
,
所以,
解得,
所以在線段上不存在點(diǎn)
,使得
與面
所成角的正弦值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖在直角中,
為直角,
,
,
分別為
,
的中點(diǎn),將
沿
折起,使點(diǎn)
到達(dá)點(diǎn)
的位置,連接
,
,
為
的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:面
;
(Ⅱ)若,求二面角
的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓,點(diǎn)
,點(diǎn)
在圓
上運(yùn)動(dòng),
的垂直平分線交
于點(diǎn)
.
(1)求證:為定值及動(dòng)點(diǎn)
的軌跡
的方程;
(2)不在軸上的
點(diǎn)為
上任意一點(diǎn),
與
關(guān)于原點(diǎn)
對(duì)稱,直線
交
于另外一點(diǎn)
.求證:直線
與直線
的斜率的乘積為定值,并求出該定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】世界讀書(shū)日又稱“世界圖書(shū)日”,設(shè)立的目的是希望世界各地的人,無(wú)論你是年老還是年輕,都能享受閱讀的樂(lè)趣,都能尊重和感謝為人類文明做出巨大貢獻(xiàn)的文學(xué)、文化、科學(xué)、思想大師們,都能保護(hù)知識(shí)產(chǎn)權(quán).某單位共有600人,其年齡與人數(shù)分布表如下:
年齡段 | ||||
人數(shù)(單位:人) | 150 | 210 | 180 | 60 |
約定:年齡在為青年人,在
為中老年人.今年年初,該單位開(kāi)展“每天閱讀1小時(shí)”活動(dòng),為了了解員工閱讀1小時(shí)是否與年齡相關(guān),一個(gè)月后按照分層抽樣抽取30人進(jìn)行調(diào)查.
(1)抽出的青年人與中老年人數(shù)量分別為多少?并估算單位這600人的平均年齡;
(2)若所抽取出的青年人與中老年人中分別有6人和7人平均每天閱讀達(dá)1小時(shí),其余人都沒(méi)達(dá)1小時(shí).完成下列2×2列聯(lián)表,并回答能否由90%的把握認(rèn)為年齡與閱讀達(dá)1小時(shí)有關(guān)?
閱讀達(dá)1小時(shí) | 閱讀沒(méi)達(dá)1小時(shí) | 總計(jì) | |
青年 | 6 | ||
中年 | 7 | ||
總計(jì) | 30 |
參考公式:
臨界值表:
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知三棱錐P-ABC(如圖一)的平面展開(kāi)圖(如圖二)中,四邊形ABCD為邊長(zhǎng)等于的正方形,
和
均為正三角形,在三棱錐P-ABC中:
(1)證明:平面平面ABC;
(2)若點(diǎn)M在棱PA上運(yùn)動(dòng),當(dāng)直線BM與平面PAC所成的角最大時(shí),求直線MA與平面MBC所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“紋樣”是中國(guó)藝術(shù)寶庫(kù)的瑰寶,“火紋”是常見(jiàn)的一種傳統(tǒng)紋樣,為了測(cè)算某火紋紋樣(如圖陰影部分所示)的面積,作一個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形將其包含在內(nèi),并向該正方形內(nèi)隨機(jī)投擲2000個(gè)點(diǎn),己知恰有800個(gè)點(diǎn)落在陰影部分,據(jù)此可估計(jì)陰影部分的面積是
A.B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB//CD,且.
(1)證明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC, ,求二面角A-PB-C的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義:若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)
是奇函數(shù)(
),則稱函數(shù)
是“雙奇函數(shù)” .函數(shù)
.
(1)若函數(shù)是“雙奇函數(shù)”,求實(shí)數(shù)
的值;
(2)假設(shè).
(i)在(1)的條件下,討論函數(shù)的單調(diào)性;
(ii)若,討論函數(shù)
的極值點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線的參數(shù)方程為
,在同一平面直角坐標(biāo)系中,將曲線
上的點(diǎn)按坐標(biāo)變換
得到曲線
,以原點(diǎn)為極點(diǎn),
軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.
(Ⅰ)求曲線的極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若過(guò)點(diǎn)(極坐標(biāo))且傾斜角為
的直線
與曲線
交于
兩點(diǎn),弦
的中點(diǎn)為
,求
的值.
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