Question

某化工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品的年固定成本為200萬元，每生產(chǎn)1噸另投入12萬元，設化工廠一年內(nèi)共生產(chǎn)該產(chǎn)品x噸并全部銷售完，每噸的銷售收入為R（x）萬元，且R（x）=

112- 1 3 x2(0＜x≤15) 1230 x - 10800 x2+x (x＞15)

．
（Ⅰ）求年利潤y（萬元）關于年產(chǎn)量x（噸）的函數(shù)關系式；
（Ⅱ）年產(chǎn)量為多少噸時，化工廠在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利最大？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意分0＜x≤15和當x兩種情況得到y(tǒng)與x的分段函數(shù)關系式；
（Ⅱ）當0＜x≤15時，利用導數(shù)法求最大值，當x＞15時，利用基本不等式來求L的最大值，再進行比較，從而可得結論．

解答：解：（Ⅰ）當0＜x≤15時，y=100x-

1

3

x3-200
當x＞15時，y=1030-(

10800

x+1

+12x)
∴y=

100x- 1 3 x3-200，(0＜x≤15) 1030-( 10800 x+1 +12x)，(x＞15)

（Ⅱ）當0＜x≤15時，y′=100-x²=0，∴x=10
∴x=10時，ymax=

1400

3

當x＞15時，y=1030-(

10800

x+1

+12x)=1042-[

10800

x+1

+12(x+1)]≤1042-720=322
當且僅當

10800

x+1

=12(x+1)，∴x=29，y_max=322
∵

1400

3

＞322，∴x=10時，取得最大值

點評：本題考查的知識點是函數(shù)模型的選擇與應用，函數(shù)的值域，分段函數(shù)的解析式求法，考查基本不等式的運用．