Question

在等比數列{a_n}中，a_n＞0，（n∈N^*），公比q∈（0，1），且a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，a₃與a₅的等比中項為2．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=log₂a_n，數列{b_n}的前n項和為S_n，當

S1

1

+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

最大時，求n的值．

Answer 1

分析：（1）利用等比數列的性質把a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25轉化為a₃²+2a₃a₅+a₅²=25，求出a₃+a₅=5，再利用a₃與a₅的等比中項為2即可首項和公比，進而求出數列{a_n}的通項公式；
（2）先利用（1）求出數列{b_n}的通項公式以及前n項和為S_n，，進而得到

sn

n

的通項，即可求出當

S1

1

+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

最大時，對應n的值．

解答：解：（1）因為a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，所以，a₃²+2a₃a₅+a₅²=25
又a_n＞o，a₃+a₅=5，（3分）
又a₃與a₅的等比中項為2，所以，a₃a₅=4
而q∈（0，1），所以，a₃＞a₅，所以，a₃=4，a₅=1，q=

1

2

，a₁=16，
所以，a_n=16×(

1

2

)n-1=2^5-n（6分）
（2）b_n=log₂a_n=5-n，所以，b_n+1-b_n=-1，
所以，{b_n}是以4為首項，-1為公差的等差數列（8分）
所以s_n=

n(9-n)

2

?

sn

n

=

9-n

2

（10分）
所以，當n≤8時，

sn

n

＞0，
當n=9時，

sn

n

=0，
n＞9時，

sn

n

＜0，
當n=8或9時，

S1

1

+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

最大．　　（13分）

點評：本題第一問考查等差數列與等比數列的基礎知識，考查方程思想在解決數列問題中的應用．在等差數列、等比數列問題中基本量是解題的關鍵，一般是根據已知條件把基本量求出來，然后在解決問題．