Question

已知離心率為

2

2

的橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)F是圓（x-1）²+y²=1的圓心，過橢圓上的動點(diǎn)P作圓的兩條切線分別交y軸于M、N兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）求線段MN長的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)圓方程可求得圓心坐標(biāo)，即橢圓的右焦點(diǎn)，根據(jù)橢圓的離心率進(jìn)而求得a，最后根據(jù)a，b和c的關(guān)系求得b，則橢圓方程可得．
（II）P（x₀，y₀），M（0，m），N（0，n），把橢圓方程與圓方程聯(lián)立求得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而可推斷x₀的范圍，把直線PM的方程化簡，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到直線PM和PN的距離．求得x₀和y₀的關(guān)系式，進(jìn)而求得m+n和mn的表達(dá)式，進(jìn)而求得|MN|．把點(diǎn)P代入橢圓方程根據(jù)弦長公式求得MN|．記f(x)=2-

4

(x-2)2

，根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)f（x）的值域，進(jìn)而求得當(dāng)x0=-

2

時(shí)，|MN|取得最大值，進(jìn)而求得y₀，則P點(diǎn)坐標(biāo)可得．

解答：解：（I）∵圓（x-1）²+y²=1的圓心是（1，0），
∴橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)F（1，0），
∵橢圓的離心率是

2

2

，∴

c

a

=

2

2

∴a²=2，b²=1，∴橢圓的方程是

x2

2

+y2=1．

（II）設(shè)P（x₀，y₀），M（0，m），N（0，n），
由

x2 2 +y2=1 (x-1)2+y2=1

得x=2-

2

，∴x0∈[-

2

，0)∪(0，2-

2

)．
直線PM的方程：y-m=

y0-m

x0

x，
化簡得（y₀-m）x-x₀y+x₀m=0．
又圓心（1，0）到直線PM的距離為1，
∴

|y0-m+x0m|

(y0-m)2+ x 2 0

=1，
∴（y₀-m）²+x₀²=（y₀-m）²+2x₀m（y₀-m）+x₀²m²，
化簡得（x₀-2）m²+2y₀m-x₀=0，
同理有（x₀-2）n²+2y₀n-x₀=0．
∴m+n=

-2y0

x0-2

，mn=

-x0

x0-2

，
∴|MN|=|m-n|=

(m-n)2

=

4 x 2 0 +4 y 2 0 -8x0 (x0-2)2

．
∵P（x₀，y₀）是橢圓上的點(diǎn)，∴

x 2 0

2

+

y

2 0

=1，
∴|MN|=

2 x 2 0 -8x0+4 (x0-2)2

=

2(x0-2)2-4 (x0-2)2

=

2- 4 (x0-2)2

，
記f(x)=2-

4

(x-2)2

，則f′(x)=

8

(x-2)3

，x ∈[-

2

，0)時(shí)，
f'（x）＜0；x∈(0，2-

2

)時(shí)，f'（x）＜0，
∴f（x）在[-

2

，0)上單調(diào)遞減，在(0，2-

2

)內(nèi)也是單調(diào)遞減，
∴f(x)∈(0，1)∪(1，2

2 -1

]，
當(dāng)x0=-

2

時(shí)，|MN|取得最大值2

2 -1

，
此時(shí)點(diǎn)P位置是橢圓的左頂點(diǎn)(-

2

，0)．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查考生分析問題、解決問題的能力．