某民營(yíng)企業(yè)從事M國(guó)某品牌運(yùn)動(dòng)鞋的加工業(yè)務(wù),按照國(guó)際慣例以美元結(jié)算.依據(jù)以往的加工生產(chǎn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析,若加工訂單的金額為x萬(wàn)美元,可獲得的加工費(fèi)的近似值為萬(wàn)美元.2011年以來(lái),受美聯(lián)儲(chǔ)貨幣政策的影響,美元持續(xù)貶值.由于從生產(chǎn)訂單簽約到成品交付要經(jīng)歷一段時(shí)間,收益將因美元貶值而損失mx美元(其中m是該時(shí)段的美元貶值指數(shù),且0<m<1),從而實(shí)際所得的加工費(fèi)為萬(wàn)美元.
(1)若某時(shí)段的美元貶值指數(shù),為了確保企業(yè)實(shí)際所得加工費(fèi)隨x的增加而增加,該企業(yè)加工產(chǎn)品訂單的金額x應(yīng)該控制在什么范圍內(nèi)?
(2)若該企業(yè)加工產(chǎn)品訂單的金額為x萬(wàn)美元時(shí)共需要的生產(chǎn)成本為萬(wàn)美元.已知該企業(yè)的生產(chǎn)能力為x∈[10,20],試問(wèn)美元貶值指數(shù)m在何范圍內(nèi)時(shí),該企業(yè)加工生產(chǎn)不會(huì)出現(xiàn)虧損?(已知).
【答案】分析:(1)根據(jù)知,,可得函數(shù)解析式,利用導(dǎo)數(shù)大于0,即可得到結(jié)論;
(2)設(shè)企業(yè)加工生產(chǎn)不出現(xiàn)虧損,則當(dāng)x∈[10,20]時(shí),都有,即10ln(2x+1)-(20m+1)x≥0,求出左邊對(duì)應(yīng)函數(shù)的最小值,即可確定貶值指數(shù)m的范圍.
解答:解:(1)由已知,∴

由f'(x)>0⇒199-2x>0,解得0<x<99.5
即加工產(chǎn)品訂單金額x∈(0,99.5)(單位:萬(wàn)美元),該企業(yè)的加工費(fèi)隨x的增加而增加.
(2)依題意,設(shè)企業(yè)加工生產(chǎn)不出現(xiàn)虧損,則當(dāng)x∈[10,20]時(shí),都有,
即10ln(2x+1)-(20m+1)x≥0,
設(shè)g(x)=10ln(2x+1)-(20m+1)x,則
令g(x)=0,則

∴g(x)在[10,20]上是減函數(shù)
所以,g(x)min=g(20)=10ln41-20(20m+1)≥0,∴m≤,又m>0,
所以,m∈(0,]時(shí),該企業(yè)加工生產(chǎn)不會(huì)虧損.
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)解析式的求解,考查導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值問(wèn)題中的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是將企業(yè)加工生產(chǎn)不出現(xiàn)虧損,轉(zhuǎn)化為不等式,再借助于函數(shù)的最值進(jìn)行研究.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某民營(yíng)企業(yè)從事M國(guó)某品牌運(yùn)動(dòng)鞋的加工業(yè)務(wù),按照國(guó)際慣例以美元結(jié)算.依據(jù)以往的加工生產(chǎn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析,若加工訂單的金額為x萬(wàn)美元,可獲得的加工費(fèi)的近似值為
1
2
ln(2x+1)
萬(wàn)美元.2011年以來(lái),受美聯(lián)儲(chǔ)貨幣政策的影響,美元持續(xù)貶值.由于從生產(chǎn)訂單簽約到成品交付要經(jīng)歷一段時(shí)間,收益將因美元貶值而損失mx美元(其中m是該時(shí)段的美元貶值指數(shù),且0<m<1),從而實(shí)際所得的加工費(fèi)為f(x)=
1
2
ln(2x+1)-mx
萬(wàn)美元.
(1)若某時(shí)段的美元貶值指數(shù)m=
1
200
,為了確保企業(yè)實(shí)際所得加工費(fèi)隨x的增加而增加,該企業(yè)加工產(chǎn)品訂單的金額x應(yīng)該控制在什么范圍內(nèi)?
(2)若該企業(yè)加工產(chǎn)品訂單的金額為x萬(wàn)美元時(shí)共需要的生產(chǎn)成本為
1
20
x
萬(wàn)美元.已知該企業(yè)的生產(chǎn)能力為x∈[10,20],試問(wèn)美元貶值指數(shù)m在何范圍內(nèi)時(shí),該企業(yè)加工生產(chǎn)不會(huì)出現(xiàn)虧損?(已知(ln(2x+1))′=
2
2x+1
).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年江蘇省南通市海門(mén)中學(xué)高三(下)4月段考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

某民營(yíng)企業(yè)從事M國(guó)某品牌運(yùn)動(dòng)鞋的加工業(yè)務(wù),按照國(guó)際慣例以美元結(jié)算.依據(jù)以往的加工生產(chǎn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析,若加工訂單的金額為x萬(wàn)美元,可獲得的加工費(fèi)的近似值為萬(wàn)美元.2011年以來(lái),受美聯(lián)儲(chǔ)貨幣政策的影響,美元持續(xù)貶值.由于從生產(chǎn)訂單簽約到成品交付要經(jīng)歷一段時(shí)間,收益將因美元貶值而損失mx美元(其中m是該時(shí)段的美元貶值指數(shù),且0<m<1),從而實(shí)際所得的加工費(fèi)為萬(wàn)美元.
(1)若某時(shí)段的美元貶值指數(shù),為了確保企業(yè)實(shí)際所得加工費(fèi)隨x的增加而增加,該企業(yè)加工產(chǎn)品訂單的金額x應(yīng)該控制在什么范圍內(nèi)?
(2)若該企業(yè)加工產(chǎn)品訂單的金額為x萬(wàn)美元時(shí)共需要的生產(chǎn)成本為萬(wàn)美元.已知該企業(yè)的生產(chǎn)能力為x∈[10,20],試問(wèn)美元貶值指數(shù)m在何范圍內(nèi)時(shí),該企業(yè)加工生產(chǎn)不會(huì)出現(xiàn)虧損?(已知).

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