Question

已知點A（-1，0），B（0，2），當平移拋物線y²=x并使它的頂點在線段AB上運動時，拋物線截直線y=x的線段長的最大值是（　�。�

• A．

  34

• B．

  10

• C．

  3 2

  2

• D．3

  2

Answer 1

分析：先根據(jù)直線的兩點式方程求出直線方程，然后根據(jù)題意設(shè)出拋物線的頂點坐標，表示出拋物線方程，然后與直線y=x聯(lián)立方程組，從而表示出拋物線截直線y=x的線段長，從而求出最值．

解答：解：線段AB的方程為：

x-(-1)

0-(-1)

=

y-0

2-0

即y=2（x+1），
當平移拋物線y²=x并使它的頂點在線段AB上運動時：頂點坐標設(shè)為（k，2（k+1））
∴拋物線方程為：[y-2（k+1）]²=x-k
它與y=x聯(lián)立方程組

[y-2(k+1)]2=x-k y=x

，
得：[x-2（k+1）]²=x-k，
即x²-（4k+5）x+4（k+1）²+k=0，
兩交點設(shè)為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
根據(jù)韋達定理：x₁+x₂=4k+5，x₁x₂=4（k+1）²+k，
∴拋物線截直線y=x的線段長為：

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

1+1

•

(x2-x1)2

=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

8k+18

，
∴拋物線截直線y=x的線段長的最大值發(fā)生在B點，最大值為3

2

．
故選D．

點評：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用，以及弦長公式l=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

1+k2

•

(x2-x1)2

的應(yīng)用，同時考查了分析問題的能力和運算求解的能力，屬于中檔題．