Question

已知線(xiàn)性變換f對(duì)應(yīng)的矩陣M=

0 2 1 -1

，線(xiàn)性變換g對(duì)應(yīng)的矩陣N的屬于特征值λ=-1的一個(gè)特征向量

ξ

=

1 -1

，向量

α

=

1 2

在線(xiàn)性變換g作用下得到的像為

β

=

8 4

；
（1）求矩陣M的逆矩陣；
（2）求矩陣N；
（3）已知曲線(xiàn)C依次作線(xiàn)性變換f和g，得到曲線(xiàn)C′：x+5y+4=0，求曲線(xiàn)C的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：幾種特殊的矩陣變換

專(zhuān)題：綜合題,矩陣和變換

分析：（1）求出|M|，即可求出矩陣M的逆矩陣；
（2）利用線(xiàn)性變換g對(duì)應(yīng)的矩陣N的屬于特征值λ=-1的一個(gè)特征向量

ξ

=

1 -1

，向量

α

=

1 2

在線(xiàn)性變換g作用下得到的像為

β

=

8 4

，建立方程組，即可求矩陣N；
（3）設(shè)曲線(xiàn)C上任一點(diǎn)P（x，y）在矩陣NM對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性變換作用下得到的像為P′（x′，y′），則

x′=3x+y y′=x+3y

代入曲線(xiàn)C′，即可求曲線(xiàn)C的方程．

解答： 解：（1）∵M(jìn)=

0 2 1 -1

，∴|M|=-2，
∴M^-1=

1 2 1 1 2 0

--------------------------------3
（2）設(shè)N=

a b c d

，則

a b c d

1 -1

=

1 -1

，

a b c d

1 2

=

8 4

，即

a-b=-1 a+2b=8 c-d=1 c+2d=4

解得a=2，b=3，c=2，d=1，
所以N=

2 3 2 1

----------------6分
（3）依次作線(xiàn)性變換f和g對(duì)應(yīng)的矩陣NM=

2 3 2 1

=

0 2 1 -1

=

3 1 1 3

，
設(shè)曲線(xiàn)C上任一點(diǎn)P（x，y）在矩陣NM對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性變換作用下得到的像為P′（x′，y′），
則

x′=3x+y y′=x+3y

代入曲線(xiàn)C′得3x+y+5（x+3y）+4=0，即2x+4y+1=0
所求曲線(xiàn)C的方程為2x+4y+1=0．--------------10分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是求矩陣的特征值以及特征向量問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．