函數(shù)f(x)=的定義域為R,且f(-n)=0(n∈N*)
(Ⅰ)求證:a>0,b<0;
(Ⅱ)若f(1)=,且f(x)在[0,1]上的最小值為,試求f(x)的解析式;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下記Sn=f(1)+f(2)+…+f(n)(n∈N),試比較Sn與n+的大小并證明你的結(jié)論.
【答案】分析:(Ⅰ)由f(x)定義域為R,∴1+a•2bx≠0,可得a≥0.若若a=0,f(x)=1為定值,與條件矛盾.故可得a>0,
再由來確定b<0即可.
(Ⅱ)由可得a和b的一個關(guān)系,再由(1)可知知f(x)在[0,1]上為增函數(shù),所以f(x)在[0,1]上的最小值為f(0)=,又可得a和b的另一個關(guān)系,聯(lián)立即可求出a和b.
(Ⅲ)由f(x)的解析式可知,f(n)<1,所以Sn=f(1)+f(2)+…+f(n)<n,而>n,故可比較大小.
解答:解(Ⅰ)∵f(x)定義域為R,∴1+a•2bx≠0,即a≠-2-bx而x∈R,∴a≥0.
若a=0,f(x)=1與f(-n)=0矛盾,∴a>0,∴=
∴2-b>1即b<0,故a>0,b<0.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)在[0,1]上為增函數(shù),
∴f(0)=,即,∴a=1,f(1)=
∴2b=,∴b=-2,∴f(x)=
(Ⅲ)當(dāng)k∈N*時,Sn<n+,證明如下:
f(k)=1-<1,∴f(1)+f(2)+f(3)++f(n)<n
而n+>n,∴k∈N*時,Sn<n+
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列的極限及應(yīng)用、求函數(shù)解析式、比較大小等知識,綜合性強(qiáng).考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力.
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定義一種運(yùn)算a⊕b=
a,a≤b
b,a>b
,令f(x)=(cos2x+sinx)⊕
5
4
,且x∈[0,
π
2
],則函數(shù)f(x-
π
2
)的最大值是( �。�
A、
5
4
B、1
C、-1
D、-
5
4

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20、已知函數(shù)f(x)=mx2+(n+2)x-1是定義在[m,m2-6]上的偶函數(shù),求:①m,n的值   ②函數(shù)f(x)的值域 ③求函數(shù)f(x-1)的表達(dá)式.

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定義二階行列式
.
ab
cd
.
=ad-bc,則函數(shù)f(x)=
.
sinx1
cosx
3
.
的值域是
 

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已知函數(shù)f(x)=2x+1定義在R上.若f(x)能表示為一個偶函數(shù)g(x)與一個奇函數(shù)h(x)之和
(1)求g(x)與h(x)的解析式
(2)設(shè)h(x)=t,p(t)=g(2x)+2mh(x)+m2-m-1(m∈R),求出p(t)的解析式;
(3)在(2)的條件下,若p(t)≥m2-m-1對于x∈[1,2]恒成立,求m的取值范圍.

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定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f(x),如果存在函數(shù)g(x)=Ax+B(A,B為常數(shù)),使得f(x)≥g(x)對一切實數(shù)x都成立,那么稱g(x)為函數(shù)f(x)的一個承托函數(shù).
下列說法正確的有:
①②
①②
.(寫出所有正確說法的序號)
①對給定的函數(shù)f(x),其承托函數(shù)可能不存在,也可能有無數(shù)個;
②g(x)=ex為函數(shù)f(x)=ex的一個承托函數(shù);
③函數(shù)f(x)=
x
x2+x+1
不存在承托函數(shù);
④函數(shù)f(x)=
1
5x2-4x+11
,若函數(shù)g(x)的圖象恰為f(x)在點(diǎn)p(1,
1
2
)
處的切線,則g(x)為函數(shù)f(x)的一個承托函數(shù).

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