Question

已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx-2cos²x．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),二倍角的正弦,二倍角的余弦,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用二倍角公式，兩角和、差的正弦函數(shù)，化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）=2sinxcosx-2cos²x．為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，然后直接求出最小正周期，
（2）由x∈[0，

π

2

]求出2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，得到sin(2x-

π

4

)∈[-

2

2

，1]，求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

解答： （1）解：f（x）=2sinxcosx-2cos²x
=sin2x-（1+cos2x）
=sin2x-cos2x-1
=

2

sin(2x-

π

4

)-1
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（2）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
sin(2x-

π

4

)∈[-

2

2

，1]，
∴

2

sin(2x-

π

4

)-1∈[-2，

2

-2]
∴最大值為

2

-2，最小值-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的最值，三角函數(shù)的周期性及其求法，考查計(jì)算能力，此類題目的解答，關(guān)鍵是基本的三角函數(shù)的性質(zhì)的掌握熟練程度，是基礎(chǔ)題．