Question

已知圓C的方程為x²+（y-4）²=4，點O是坐標原點．直線l：y=kx與圓C交于M，N兩點．
（Ⅰ）求k的取值范圍；
（Ⅱ）過（1，3）點作圓的弦，求最小弦長？

Answer 1

考點：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）根據(jù)直線l與圓相交，得到圓心到直線l的距離d小于半徑，即可求出k的取值范圍；
（Ⅱ）當圓心與（1，3）連線為弦心距時，弦長最小，利用兩點間的距離公式求出弦心距，由垂徑定理及勾股定理求出最小弦長即可．

解答： 解：（I）由圓的方程得：圓心C（0，4），半徑r=2，
∵直線l與圓C相交于M，N兩點，
∴圓心（0，4）到直線kx-y=0的距離d=

|-4|

1+k2

＜2，
整理得：1+k²＞4，即k²＞3，
解得：k＞

3

或k＜-

3

；
（II）當圓心與（1，3）連線為弦心距時，弦長最小，
∵圓心C到（1，3）的距離為

(1-0)2+(3-4)2

=

2

，半徑r=2，
根據(jù)題意得：最小弦長為2

22-( 2 )2

=2

2

．

點評：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識有：圓的標準方程，點到直線的距離公式，兩點間的距離公式，垂徑定理，以及勾股定理，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．