Question

AB和平面M所成角是a ，AC在平面M內，AC和AB在平面M內的射影AB₁所成角是b ，設∠BAC=q ．求證：a 、b 、q 滿足關系式cosq =cosa ·cosb ．

Answer 1

答案：
解析：

證明：根據題意正確畫出圖形，利用三垂線定理及其逆定理，構造直角三角形，利用各角余弦值的關系證明等式成立． 　　作圖(如圖所示)，在點B和AC確定的平面內作BD⊥AC，D為垂足，作BB1⊥平面M，垂足為B1，連結B1D，AB1 　　∵　BB1⊥平面M，AC平面M 　　∴　AC⊥B1D 　　在RT△ADB中，cosq= 　　在RT△ABB1中，cosa= 　　在RT△ADB1中，cosb= 　　∴　cosa·cosb=cosq 　　即cosq=cosa·cosb． 　　說明：本題證明中通過三垂線定理將空間問題轉化成平面問題，這是立體幾何問題解答中的一個重要思想方法．由cosq=cosa·cosb，顯然有cosq＜cosa，由于a和q都是銳角，故a＜q，這是一個很重要的結論．