Question

已知某幾何體的直觀圖和三視圖如圖所示，其正視圖為矩形，左視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形．

（1）證明：面BCN⊥面C₁NB₁
（2）求平面CNB₁與平面C₁NB₁所成角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,由三視圖求面積、體積

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，可得BA，BC，BB₁兩兩垂直，以BA，BB₁，BC分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)、向量，利用數(shù)量積證明NB⊥NB₁，BN⊥B₁C₁，即可證明BN⊥平面C₁NB₁．
（Ⅱ）求出平面C₁B₁N、平面NCB₁的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，可求二面角C-NB₁-C₁的余弦值．

解答： （1）證明：∵該幾何體的正視圖為矩形，左視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形，
∴BA，BC，BB₁兩兩垂直．
以BA，BB₁，BC分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖．--------------（2分）

則B（0，0，0），N（4，4，0），B₁（0，8，0），C₁（0，8，4），C（0，0，4）．
∴

BN

•

NB1

=-16+16+0=0，

BN

•

B1C1

=（4，4，0）•（0，0，4）=0------------（4分）
∴NB⊥NB₁，BN⊥B₁C₁．
又NB₁與B₁C₁相交于B₁，∴BN⊥平面C₁NB₁．-------------------（6分）
（2）解：∵BN⊥平面C₁NB₁，∴

BN

是平面C₁B₁N的一個(gè)法向量

n1

=（4，4，0），------------（8分）
設(shè)

n2

=（x，y，z）為平面NCB₁的一個(gè)法向量，則

x+y-z=0 x-y=0

∴可取

n2

=（1，1，2）．------------（10分）
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

3

3

∴所求二面角C-NB₁-C₁的余弦值為

3

3

．------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查面面角，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，確定平面的法向量．