Question

已知向量

a

=（-1，

3

），

b

=（

3

2

，

1

2

），

c

=

a

+（m+1）

b

，

d

=-

1

m

a

+

1

n

b

（mn≠0）
（1）若m=-

1

2

，n=-

1

16

，求向量

c

與

d

的夾角；
（2）若n=

1

3

，且|

a

+

c

|=|

b

+

d

|，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由m、n的值，求出向量

c

、

d

的數(shù)量積，得出

c

⊥

d

，即得夾角；
（2）由n=

1

3

，求出|

a

+

c

|=|

b

+

d

|的表達(dá)式，得出關(guān)于m的方程式，求出m的值．

解答： 解：（1）當(dāng)m=-

1

2

，n=-

1

16

時(shí)，

c

=

a

+（-

1

2

+1）

b

=

a

+

1

2

b

，

d

=2

a

-16

b

；
∴

c

•

d

=（

a

+

1

2

b

）•（2

a

-16

b

）
=2

a

2-16

a

•

b

+

b

•

a

-8

b

2
=2×4-0+0-8×1=0，
∴

c

⊥

d

，即向量

c

與

d

的夾角為

π

2

；
（2）當(dāng)n=

1

3

時(shí)，

a

+

c

=

a

+[

a

+（m+1）

b

]
=2

a

+（m+1）

b

，

b

+

d

=

b

+（-

1

m

a

+

1

n

b

）
=

b

+（-

1

m

a

+3

b

）
=-

1

m

a

+4

b

，
∵|

a

+

c

|=|

b

+

d

|，
∴(2

a

+(m+1)

b

)2=(-

1

m

a

+4

b

)2，
即4

a

2+4（m+1）

a

•

b

+（m+1）²

b

2=

1

m2

a

2-

8

m

a

•

b

+16

b

2，
∴16+0+（m+1）²=

4

m2

+16，
化簡得（m+1）²-

4

m2

=0，
分解因式得（m+1+

2

m

）•（m+1-

2

m

）=0，
∴m+1+

2

m

=0，或m+1-

2

m

=0，
即m²+m+2=0，或m²+m-2=0，
解得m=-2，或m=1；
∴m的值-2或1．

點(diǎn)評：本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與數(shù)量積的運(yùn)算問題，也考查了一定的運(yùn)算技巧與運(yùn)算能力，是中檔題目．