Question

（A題）有下列命題：
①若f（x）存在導函數(shù)，則f′（2x）=[f（2x）]′；
②若g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2013），則g′（2013）=2012!；
③若函數(shù)y=f（x）滿足f′（x）＞f（x），則當a＞0時，f（a）＞e^af（0）；
④若f（x）=ax³+bx²+cx+d，則a+b+c=0是f（x）有極值點的充要條件．
其中正確命題的序號為

 

．

Answer 1

考點：導數(shù)的運算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的概念及應用

分析：①根據(jù)復合函數(shù)求導法則即可判斷，
②令f（x）=（x-1）（x-2）…（x-2012），則g（x）=f（x）（x-2013），求導即可判斷，
③構(gòu)造函數(shù)f（x）=e^2x，得到e^2a＞e^2a，問題得以判斷
④根據(jù)函數(shù)零點的主要條，即可判斷．

解答： 解：①f（2x）為復合函數(shù)，故其導數(shù)為f′（2x）×（2x）′=2f′（2x），故①錯誤．
②令f（x）=（x-1）（x-2）…（x-2012）
∴g（x）=f（x）（x-2013），
∴g′（x）=f′（x）（x-2013）+f（x）（x-2013）′，
∴g′（2013）=f′（2013）（2013-2013）+（2013-1）（2013-2）…（2013-2012）=2012!；故②正確
③設函數(shù)f（x）=e^2x，則其導函數(shù)f′（x）=2e^2x，顯然滿足f′（x）＞f（x），由f（a）=e^2a，e^af（0）=e^a；
當a＞0，e^2a＞e^2a，∴f（a）＞e^af（0）；故③正確．
④∵f（x）=ax³+bx²+cx+d，
∴f′（x）=3ax²+2bx+c，
∵f（x）有極值點?f′（x）=0有兩個不相等的實數(shù)根?△=4b²-12ac＞0，故④錯誤．
故答案為：②③

點評：本題主要復合函數(shù)求導法則，以及函數(shù)零點的充要條件，關鍵是掌握導數(shù)基本概念，屬于中檔題．