Question

22.已知復(fù)數(shù)z­­­₀=1－mi（m>0），z=x+yi和w=x′+y′i，其中x，y，x′，y′均為實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，且對(duì)于任意復(fù)數(shù)z，有w=·，|w|=2|z|.

（1）試求m的值，并分別寫出x′和y′用x、y表示的關(guān)系式；

（2）將（x，y）作為點(diǎn)P的坐標(biāo)，（x′，y′）作為點(diǎn)Q的坐標(biāo)，上述關(guān)系式可以看作是坐標(biāo)平面上點(diǎn)的一個(gè)交換；它將平面上的點(diǎn)P變到這一平面上的點(diǎn)Q.已知點(diǎn)P經(jīng)該變換后得到的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，2），試求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若直線y=kx上的任一點(diǎn)經(jīng)上述變換后得到的點(diǎn)仍在該直線上，試求k的值.

Answer 1

22.

解：（1）由題設(shè)，|w|=||=|z₀||z|=2|z|，∴|z₀|=2，

于是由1+m²=4，且m>0，得m=.                        

因此由x′+y′i=·=x+y+（x－y）i.

得關(guān)系式.                              

 

（2）由題意，有                    

解得.

即P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）.                    

 

（3）∵直線y=kx上的任意點(diǎn)P（x，y），其經(jīng)變換后的點(diǎn)Q（x+y，x－y）仍在該直線上，

∴x－y=k（x+y），

即（k+1）y=（－k）x.                   

解法一：∵當(dāng)k=0時(shí)，y=0，y=x不是同一條直線，

∴k≠0，

于是=.                           

即k²+2k－=0，

解得k=或k=－.   

 

解法二：取直線y=kx上的點(diǎn)（1，k），

得（k+1）k=－k，

即k²+2k－=0，

得k=或k=－.                         

經(jīng)檢驗(yàn)，y=或y=－x確實(shí)滿足條件。