Question

已知函數(shù)（）.
(1)若函數(shù)在處取得極大值,求的值;
(2)時,函數(shù)圖象上的點(diǎn)都在所表示的區(qū)域內(nèi),求的取值范圍;
(3)證明:，.

Answer 1

(1) ；(2) .
(3)數(shù)學(xué)歸納法可知，，。

解析試題分析：(1)，由 經(jīng)檢驗(yàn)符合題意 （3分）
(2)依題意知，不等式在恒成立.令,
當(dāng)k≤0時,取x＝1,有，故k≤0不合．（4分）
當(dāng)k＞0時， g′(x)＝－2kx＝.
令g′(x)＝0，得x₁＝0，x₂＝＞－1.         （5分）
①當(dāng)k≥時，≤0，g′(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，因此g(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，從而對任意的x∈[0，＋∞)，總有g(shù)(x)≤g(0)＝0，故k≥符合題意，6分②當(dāng)0＜k＜時，＞0, 對于x∈，g′(x)＞0，
故g(x)在內(nèi)單調(diào)遞增，因此當(dāng)取x₀∈時，g(x₀)＞g(0)＝0，不合．
綜上，. （8分）
(3)證明：當(dāng)n＝1時，不等式左邊＝2－ln3＜2＝右邊，所以不等式成立．（9分）
當(dāng)n≥2時，在(2)中取k＝，得 （10分）
取代入上式得:  （12分）
≤2－ln3＋
－ln(2n＋1)≤2－ln3＋1－＜2.
綜上，，        （14分）
考點(diǎn)：本題主要考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值，數(shù)學(xué)歸納法證明不等式。
點(diǎn)評：難題，本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的常見問題，（2）是恒成立問題，注意通過構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的最值達(dá)到解題目的。（3）利用數(shù)學(xué)歸納法。涉及對數(shù)函數(shù)，要特別注意函數(shù)的定義域。