Question

在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是棱AB的中點(diǎn)，過(guò)A₁，M，C三點(diǎn)的平面交棱C₁D₁于N點(diǎn)，
（Ⅰ）求證：四邊形A₁MCN為平行四邊形；
（Ⅱ）求直線CD₁與平面A₁MCN所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出CM∥A₁N，A₁M∥CN，由此能證明四邊形A₁MCN為平行四邊形．
（Ⅱ）延長(zhǎng)CN、DD₁交于點(diǎn)P，過(guò)D作DQ⊥AN，垂足為Q，連結(jié)PQ，過(guò)D₁作D₁H⊥PQ，垂足為H，連結(jié)CH，由D₁H⊥平面A₁MCN，知∠D₁CH即為直線CD₁與平面A₁MCN所成角，由此能求出直線CD₁與平面A₁MCN所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，
∴平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，
∵平面A₁MCN∩平面ABCD=CM，
平面A₁MCN∩平面A₁B₁C₁D₁=A₁N，
∴CM∥A₁N，同理，A₁M∥CN，
∴四邊形A₁MCN為平行四邊形．
（Ⅱ）解：延長(zhǎng)CN、DD₁交于點(diǎn)P，過(guò)D作DQ⊥AN，垂足為Q，
連結(jié)PQ，過(guò)D₁作D₁H⊥PQ，垂足為H，連結(jié)CH，
∵D₁H⊥平面A₁MCN，
∴∠D₁CH即為直線CD₁與平面A₁MCN所成角，
在Rt△D₁CH中，CD₁=

2

a，D₁H=

6

6

a，
∴sin∠D1CH=

D1H

CD1

=

3

6

，
∴直線CD₁與平面A₁MCN所成角的正弦值為

3

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平行四邊形的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．