某公司今年年初支出100萬元購買一種新的設備,而且公司每年需要支出設備的維修費和工人工資等各種費用,第一年4萬元,第二年6萬元,以后每年均比上一年增加2萬元.除去各種費用后,預計公司每年純收益為28萬元.問:
(1)引進這種設備后,從第幾年起該公司開始獲利?(即:總收益大于各種支出)
(2)這種設備使用多少年,該公司的年平均收益最大?
解:(1)由題意知,每年的費用是以4為首項,2為公差的等差數列,
設純收益與使用年數n的關系為f(n),
則f(n)=28n-[4n+
]-100
=25n-n
2-100.…(4分)
由f(n)>0,得n
2-25n+100<0,
解得:5<n<20,
又∵n∈N,所以6,7,8,…,19.
且當n=5時,f(n)=0,
即第5年末的收益與支出恰好相等,故從第6年起該公司開始獲利.…(6分)
(2)年平均收益為:
≤25-2
=5.…(10分)
當且僅當n=
,即n=10時,
取得最大值.
即這種設備使用10年,該公司的年平均收益最大.…(12分)
分析:(1)由題意知,每年的費用是以4為首項,2為公差的等差數列,設純收益與使用年數n的關系為f(n),f(n)=28n-[4n+
]-100,由此能夠求出引進這種設備后,第5年末的收益與支出恰好相等,故從第6年起該公司開始獲利.
(2)年平均收益為
≤25-2×10=5.由此能夠求出這種設備使用10年,該公司的年平均收益最大.
點評:本題考查數列在生產實際中的綜合應用,考查運算求解能力,推理論證能力;考查函數與方程思想,化歸與轉化思想.綜合性強,難度大,是高考的重點.解題時要認真審題,仔細解答,注意均值定理的靈活運用.