Question

(本大題滿分14分)

已知數(shù)列和滿足：,，，其中為實(shí)數(shù)，為正整數(shù).

（Ⅰ）對(duì)任意實(shí)數(shù)，證明:數(shù)列不是等比數(shù)列；

（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列；

（Ⅲ）設(shè)（為實(shí)常數(shù)）, 為數(shù)列的前項(xiàng)和.是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，都有?若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

解： （Ⅰ）證明：假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使｛a_n｝是等比數(shù)列，則有

即（）²=²矛盾.

所以｛a_n｝不是等比數(shù)列.                                       …… 4分

(Ⅱ)解：因?yàn)閎_n+1=(-1)ⁿ⁺¹［a_n+1-3(n-1)+21］=(-1)ⁿ⁺¹(a_n-2n+14)

=-(-1)ⁿ·（a_n-3n+21）=-b_n  

當(dāng)λ≠－18時(shí)，b₁=-(λ+18) ≠0,由上可知b_n≠0，∴(n∈N⁺).

故當(dāng)λ≠-18時(shí)，數(shù)列｛b_n｝是以－（λ＋18）為首項(xiàng)，－為公比的等比數(shù)列…8分

（Ⅲ)由（2）知，當(dāng)λ=-18,b_n=0,S_n=0,不滿足題目要求.      ……9分

∴λ≠-18，故知b_n= -（λ+18）·（－）^n-1，于是可得

S_n=--             ………10分

要使a<S_n<b對(duì)任意正整數(shù)n成立，

即a<-(λ+18)·［1－（－）ⁿ］<b(n∈N⁺) , 

當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，1<f(n)

∴f(n)的最大值為f(1)=,         f(n)的最小值為f(2)= ,     …………………………  12分

于是，由①式得

當(dāng)a<b3a時(shí)，由，不存在實(shí)數(shù)滿足要求

當(dāng)b>3a存在λ，使得對(duì)任意正整數(shù)n,都有a<S_n<b,且λ的取值范圍是）…14分

 

【解析】略