【題目】曲線的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),以原點
為極點,
軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線
的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線與曲線
,
的交點分別為
、
(
、
異于原點),當(dāng)斜率
時,求
的最小值.
【答案】(1)的極坐標(biāo)方程為
;曲線
的直角坐標(biāo)方程
.(2)
【解析】
(1)消去參數(shù),可得曲線的直角坐標(biāo)方程
,再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化,即可求解.
(2)解法1:設(shè)直線的傾斜角為
,把直線
的參數(shù)方程代入曲線
的普通坐標(biāo)方程,求得
,再把直線
的參數(shù)方程代入曲線
的普通坐標(biāo)方程,得
,得出
,利用基本不等式,即可求解;
解法2:設(shè)直線的極坐標(biāo)方程為
,分別代入曲線
,
的極坐標(biāo)方程,得
,
,得出
,即可基本不等式,即可求解.
(1) 由題曲線的參數(shù)方程為(
為參數(shù)),消去參數(shù),
可得曲線的直角坐標(biāo)方程為
,即
,
則曲線的極坐標(biāo)方程為
,即
,
又因為曲線的極坐標(biāo)方程為
,即
,
根據(jù),代入即可求解曲線
的直角坐標(biāo)方程
.
(2)解法1:設(shè)直線的傾斜角為
,
則直線的參數(shù)方程為
(
為參數(shù),
),
把直線的參數(shù)方程代入曲線
的普通坐標(biāo)方程得:
,
解得,
,
,
把直線的參數(shù)方程代入曲線
的普通坐標(biāo)方程得:
,
解得,
,
,
,
,即
,
,
,
,
當(dāng)且僅當(dāng),即
時取等號,
故的最小值為
.
解法2:設(shè)直線的極坐標(biāo)方程為
),
代入曲線的極坐標(biāo)方程,得
,
,
把直線的參數(shù)方程代入曲線
的極坐標(biāo)方程得:
,
,即
,
,
曲線的參
,即
,
,
,
,
當(dāng)且僅當(dāng),即
時取等號,
故的最小值為
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某汽車公司最近研發(fā)了一款新能源汽車,并在出廠前對100輛汽車進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程的測試�,F(xiàn)對測試數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,得到如圖所示的頻率分布直方圖:
(1)估計這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表).
(2)根據(jù)大量的汽車測試數(shù)據(jù),可以認(rèn)為這款汽車的單次最大續(xù)航里程近似地服從正態(tài)分布
,經(jīng)計算第(1)問中樣本標(biāo)準(zhǔn)差
的近似值為50。用樣本平均數(shù)
作為
的近似值,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差
作為
的估計值,現(xiàn)任取一輛汽車,求它的單次最大續(xù)航里程恰在250千米到400千米之間的概率.
參考數(shù)據(jù):若隨機變量服從正態(tài)分布,則
,
,
.
(3)某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車,現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲,送大獎”活動,客戶可根據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果,操控微型遙控車在方格圖上行進(jìn),若遙控車最終停在“勝利大本營”,則可獲得購車優(yōu)惠券3萬元。已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是0.5方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遙控車開始在第0格,客戶每擲一次硬幣,遙控車向前移動一次。若擲出正面,遙控車向前移動一格(從到
)若擲出反面遙控車向前移動兩格(從
到
),直到遙控車移到第19格勝利大本營)或第20格(失敗大本營)時,游戲結(jié)束。設(shè)遙控車移到第
格的概率為P試證明
是等比數(shù)列,并求參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額的期望值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線
:
(
為參數(shù),實數(shù)
),曲線
:
(
為參數(shù),實數(shù)
).在以
為極點,
軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,射線
(
,
)與
交于
,
兩點,與
交于
,
兩點,當(dāng)
時,
;當(dāng)
時,
.
(1)求,
的值;
(2)求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圓周率是一個在數(shù)學(xué)及物理學(xué)中普遍存在的數(shù)學(xué)常數(shù),它既常用又神秘,古今中外很多數(shù)學(xué)家曾研究它的計算方法.下面做一個游戲:讓大家各自隨意寫下兩個小于1的正數(shù)然后請他們各自檢查一下,所得的兩數(shù)與1是否能構(gòu)成一個銳角三角形的三邊,最后把結(jié)論告訴你,只需將每個人的結(jié)論記錄下來就能算出圓周率的近似值.假設(shè)有
個人說“能”,而有
個人說“不能”,那么應(yīng)用你學(xué)過的知識可算得圓周率
的近似值為()
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
⑴當(dāng)時,求函數(shù)
的極值;
⑵若存在與函數(shù),
的圖象都相切的直線,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若是定義域上的增函數(shù),求
的取值范圍;
(2)設(shè),
分別為
的極大值和極小值,若
,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一酒企為擴大生產(chǎn)規(guī)模,決定新建一個底面為長方形的室內(nèi)發(fā)酵館,發(fā)酵館內(nèi)有一個無蓋長方體發(fā)酵池,其底面為長方形
(如圖所示),其中
.結(jié)合現(xiàn)有的生產(chǎn)規(guī)模,設(shè)定修建的發(fā)酵池容積為450米
,深2米.若池底和池壁每平方米的造價分別為200元和150元,發(fā)酵池造價總費用不超過65400元
(1)求發(fā)酵池邊長的范圍;
(2)在建發(fā)酵館時,發(fā)酵池的四周要分別留出兩條寬為4米和米的走道(
為常數(shù)).問:發(fā)酵池的邊長如何設(shè)計,可使得發(fā)酵館占地面積最小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的多面體中,平面平面
,四邊形
為邊長為2的菱形,
為直角梯形,四邊形
為平行四邊形,且
,
,
.
(1)若,
分別為
,
的中點,求證:
平面
;
(2)若,
與平面
所成角的正弦值為
,求二面角
的余弦值.
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