Question

已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：在定義域D內(nèi)存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．
（1）函數(shù)f（x）=

1

x

是否屬于集合M？說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）=k•2^x+b屬于集合M，試求實數(shù)k和b滿足的條件；
（3）設(shè)函數(shù)f（x）=lg

a

x2+2

屬于集合M，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,元素與集合關(guān)系的判斷

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,集合

分析：（1）若f（x）=

1

x

∈M，則存在非零實數(shù)x₀，使得

1

x0+1

=

1

x0

+1，即x₀²+x₀+1=0，解方程即可判斷；
（2）由函數(shù)滿足的性質(zhì)，可得k•2^x₀=2k+b，對k討論，即可得到；
（3）由函數(shù)滿足的性質(zhì)，化簡得（a-3）x₀²+2ax₀+3a-6=0，討論當(dāng)a=3時，當(dāng)a＞0且a≠3時，方程解的情況，即可得到．

解答： 解：（1）D=（-∞，0）∪（0，+∞），若f（x）=

1

x

∈M，則存在非零實數(shù)x₀，
使得

1

x0+1

=

1

x0

+1，即x₀²+x₀+1=0，
因為此方程無實數(shù)解，所以函數(shù)（x）=

1

x

∉M．
（2）D=R，由f（x）=k•2^x+b∈M，存在實數(shù)x₀，使得
k•2^x₀+1+b=k•2^x₀+b+2k+b，k•2^x₀=2k+b，若k=0，則b=0，
k≠0有

2k+b

k

＞0，
所以，k和b滿足的條件是k=0，b=0或

2k+b

k

＞0．
（3）由題意，a＞0，D=R．由f（x）=lg

a

x2+2

∈M，存在實數(shù)x₀，使得
lg

a

(x0+1)2+2

=lg

a

x02+2

+lg

a

3

，
所以，

a

(x0+1)2+2

=

a

x02+2

•

a

3

，
化簡得（a-3）x₀²+2ax₀+3a-6=0，
當(dāng)a=3時，x₀=-

1

2

，符合題意．             
當(dāng)a＞0且a≠3時，
由△≥0得4a²-18（a-3）（a-2）≥0，化簡得
2a²-15a+18≤0解得

3

2

≤a≤6且a≠3                 
綜上，實數(shù)a的取值范圍是

3

2

≤a≤6．

點評：本題考查新定義及運用，考查運算和推理能力，考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，正確理解定義是迅速解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．