在棱長為1的正方體的表面上任取4個點構(gòu)成一個三棱錐，則這個三棱錐體積的取值范圍是


  1. A.
    （0，數(shù)學公式]
  2. B.
    （0，數(shù)學公式]
  3. C.
    （0，數(shù)學公式]
  4. D.
    （0，1）
B
分析：在棱長為1的正方體的表面上任取4個點構(gòu)成一個三棱錐，其體積的下界為0，要使三棱錐的體積最大，則這四個點一定得最在正方體的頂點處，分別討論上下兩個底面各取兩個點和一個底面三個點，另一個底面一個點時，棱錐的體積，即可得到棱錐的最大值，進而得到答案．
解答：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)三棱錐的底面為α．
在正方體的表面上，離三棱錐底面α最遠的點，一定可以在正方體的頂點處取得．此時，三棱錐的體積最大．固定住這個點，以這個點為三棱錐底面的一個點，則三棱錐的頂點一定可以在正方體的頂點處取得，同理，三棱錐體積最大時，三個頂點必在正方體的頂點處取得．
故正方體8個頂點中四個頂點形成三棱錐的體積最大的那個即為所求．
由于三棱錐四個頂點不共面，故在面ABCD和面A1B1C1D1中，分別可能有三棱錐的（1，3），（2，2），（3，1）個頂點，其中（1，3）和（3，1）是對稱的．
故只需討論（3，1）和（2，2）的情形．
若為（3，1），在底面，不妨取A、B、D頂點可為A1、B1、C1、D1，三棱錐體積都為，

若為（2，2）
則在底面可取A、B或A、C．
若為A、B，頂面可�。ˋ1，C1），（A1，D1），三棱錐體積．

若為A、C，則頂點可取B1D1此時
∴∴∴
故選B．
點評：本題考查的知識點是棱錐的體積，根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征得到三棱錐的體積最大時，這四個點一定得最在正方體的頂點處，進而簡單分類討論的種類是解答本題的關(guān)鍵．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中．
（Ⅰ）求證：B1D⊥平面A1C1B；
（Ⅱ）求三棱錐B1-A1C1B的體積；
（Ⅲ）求異面直線BC1與AA1所成的角的大�。�

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某種游戲中，黑、黃兩個“電子狗”從棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A出發(fā)沿棱向前爬行，每爬完一條棱稱為“爬完一段”；黑“電子狗”爬行的路線是AA1→A1D1→…，黃“電子狗”爬行的路線是AB→BB1→…，它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第i+2段與第i段所在直線必須是異面直線（其中i是正整數(shù)）．設(shè)黑“電子狗”爬完2006段，黃“電子狗”爬完2007段后各自停止在正方體的某個頂點處，這時黑、黃“電子狗”間的距離是（　�。�
A、0
B、1
C、
2
D、
3

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精英家教網(wǎng)如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為A1B1、B1C1、C1D1的中點．
（1）求異面直線AG與BF所成角的余弦值；
（2）求證：AG∥平面BEF；
（3）試在棱BB1上找一點M，使DM⊥平面BEF，并證明你的結(jié)論．

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某種游戲中，黑、白兩個“電子狗”從棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A出發(fā)，沿棱向前爬行，每爬完一條棱稱為“爬完一段”，黑“電子狗”爬行的路線是AA1→A1D1→…，白“電子狗”爬行的路線是AB→BB1→…，它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第i+2段與第i段所在直線必須是異面直線（其中i是正整數(shù)）設(shè)黑“電子狗”爬完2012段、白“電子狗”爬完2011段后各自停止在正方體的某個頂點處，這時黑、白“電子狗”間的距離是
3
3
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AC的中點，點P在正方體的表面上運動，則總能使B1C與MP垂直的點P所構(gòu)成的軌跡的周長等于
 
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