已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；
（2）證明：對任意的，存在唯一的，使；
（3）設（2）中所確定的關于的函數(shù)為，證明：當時，有.
（1）減區(qū)間是，增區(qū)間是；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

試題分析：（1）先確定函數(shù)的定義域，然后利用導數(shù)求出函數(shù)的單調區(qū)間；（2）構造函數(shù)
，利用函數(shù)的單調性與零點存在定理來證明題中結論；（3）根據(jù)（2）中的結論得到
，利用換元法令得到，于是將問題轉化為且，構造新函數(shù)，利用導數(shù)來證明在區(qū)間上恒成立即可.
試題解析：（1）函數(shù)的定義域為，
，令，得，
當變化時，，的變化情況如下表：










極小值

所以函數(shù)的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是；
（2）當時，.設，令，，
由（1）知在區(qū)間內單調遞增，
，，
故存在唯一的，使得成立；
（3），由（2）知，，且，
，
其中，，要使成立，只需且，
當時，若，則由的單調性，有，矛盾，
所以，即，從而成立.
又設，則，
所以在內是增函數(shù)，在內為減函數(shù)，
在上的最大值為
成立，
當時，成立.
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)，．
（1）若函數(shù)的圖象在處的切線與軸平行，求的值；
（2）若，恒成立，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，△OAB是邊長為2的正三角形，記△OAB位于直線左側的圖形的面積為，則

（1）函數(shù)的解析式為_______；
（2）函數(shù)的圖像在點P(t0,f(t0))處的切線的斜率為,則t0=____________.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設函數(shù)f（x）定義在（0，+∞）上，f（1）=0，導函數(shù)，.
（1）求的單調區(qū)間和最小值；
（2）討論與的大小關系；
（3）是否存在x0＞0，使得|g（x）﹣g（x0）|＜對任意x＞0成立？若存在，求出x0的取值范圍；若不存在請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設函數(shù)，其圖象與軸交于，兩點，且x1＜x2．
（1）求的取值范圍；
（2）證明：（為函數(shù)的導函數(shù)）；
（3）設點C在函數(shù)的圖象上，且△ABC為等腰直角三角形，記，求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知
（1）當時，求的極大值點；
（2）設函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于、兩點，過線段的中點做軸的垂線分別交、于點、，證明：在點處的切線與在點處的切線不平行.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

若f（x）=2lnx﹣x2，則f′（x）＞0的解集為（　�。�
A．（0，1）
B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
C．（﹣1，0）∪（1，+∞）
D．（1，+∞）

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝x2＋cx＋d，又f(2x＋1)＝4g(x)，且f′(x)＝g′(x)，f(5)＝30，則g(4)= (    )
A．
B．
C．
D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知存在正數(shù)滿足，則的取值范圍是（   ）
A．B．C．D．

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