Question

某電視臺舉辦猜歌曲的娛樂節(jié)目：隨機播放歌曲片段，選手猜出歌曲名稱可以贏取獎金．曲庫中歌曲足夠多，不重復抽�。�比賽共分7關：前4關播放常見歌曲；第5，6關播放常見或罕見歌曲，曲庫中常見歌曲與罕見歌曲數(shù)量比為1：4；第7關播放罕見歌曲．通過關卡與對應的獎金如右表所示．選手在通過每一關（最后一關除外）之后可以自主決定退出比賽或繼續(xù)闖關；若退出比賽，則可獲得已經(jīng)通過關卡對應獎金之和；若繼續(xù)闖關但闖關失敗，則不獲得任何獎金．

關卡	關卡獎金/元	累計獎金/元
1	1000	1000
2	2000	3000
3	3000	6000
4	4000	10000
5	8000	18000
6	12000	30000
7	20000	50000

（Ⅰ）選手甲準備參賽，在家進行自我測試：50首常見歌曲，甲能猜對40首；40首罕見歌曲，甲只能猜對2首，以他猜對常見歌曲與罕見歌曲的頻率最為概率．
①若比賽中，甲已順利通過前5關，求他闖過第6關的概率是多少？
②在比賽前，甲計劃若能通過第1，2，3關的任意一關，則繼續(xù)；若能通過第4關，則退出，求這種情況下甲獲得獎金的數(shù)學期望；
（Ⅱ）設選手乙猜對罕見歌曲的概率為p，且他已經(jīng)順利通過前6關，當p滿足什么條件時，他選擇繼續(xù)闖第7關更有利？

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,相互獨立事件的概率乘法公式

專題：計算題,概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）①根據(jù)甲已順利通過前5關，結合50首常見歌曲，甲能猜對40首；40首罕見歌曲，甲只能猜對2首，即可求他闖過第6關的概率；
②設甲獲得獎金為X元，求出P（X=0）=1-(

4

5

)4，P（X=10000）=(

4

5

)4，即可求這種情況下甲獲得獎金的數(shù)學期望；
（Ⅱ）求出他已經(jīng)順利通過前6關，可獲獎金30000元，選擇繼續(xù)闖第7關，可獲獎金的數(shù)學期望，建立不等式，即可得出結論．

解答： 解：（Ⅰ）①比賽中，甲已順利通過前5關，他闖過第6關的概率是

1

5

•

40

50

+

4

5

•

2

40

=

1

5

；
②設甲獲得獎金為X元，則P（X=0）=1-(

4

5

)4，P（X=10000）=(

4

5

)4，
∴EX=0×[1-(

4

5

)4]+10000×(

4

5

)4=4096；
（Ⅱ）他已經(jīng)順利通過前6關，可獲獎金30000元，
設他選擇繼續(xù)闖第7關，可獲獎金Y元，則P（Y=0）=1-p，P（Y=50000）=p，
∴EY=50000p，
令50000p＞30000，則p＞

3

5

，
即p＞

3

5

時，選擇繼續(xù)闖第7關更有利．

點評：此題考查了學生的理解題意的能力，考查了離散型隨機變量的定義與期望，考查學生的計算能力，屬于中檔題．