Question

設(shè)f（x）=x³-

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2

x²-2x+5．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增、遞減區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，f（x）＜m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得f′（x）=3x²-x-2，令f′（x）=0，得x=1或x=-

2

3

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增、遞減區(qū)間．
（2）由已知得只需使x∈[-1，2]時(shí)，f（x）的最大值小于m即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³-

1

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x²-2x+5，
∴f′（x）=3x²-x-2，
令f′（x）=0，得x=1或x=-

2

3

，
當(dāng)x∈（-∞，-

2

3

）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
當(dāng)x∈（-

2

3

，1）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
∴f（x）的增區(qū)間為（-∞，-

2

3

）和（1，+∞），f（x）的減區(qū)間為（-

2

3

，1）．
（2）當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，f（x）＜m恒成立，
只需使x∈[-1，2]時(shí)，f（x）的最大值小于m即可，
由（1）知f（x）_極大值=f（-

2

3

）=5

22

27

，f（2）=7，
∴f（x）在x∈[-1，2]中的最大值為f（2）=7，
∴m＞7．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問(wèn)題．重點(diǎn)考查學(xué)生的代數(shù)推理論證能力，分類(lèi)討論等綜合解題能力，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．