Question

設函數(shù)f(x)=

21-x-a， x≤0 f(x-1)， x＞0

，若f（x）=x有且僅有兩個實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：由函數(shù)解析式知，當x＞0時，f（x）是周期為1的函數(shù)，易求x＜1，f（x）=2^2-x-a，依題意，得方程2^2-x=x+a有且僅有兩解，在同一坐標系中作出y=2^2-x與y=x+a圖象，數(shù)形結合即可求得實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：∵x＞0時，f（x）=f（x-1）
∴當x＞0時，f（x）是周期為1的函數(shù)，
設x＜1，則x-1＜0，
f（x）=f（x-1）=2^1-（1-x）-a=2^2-x-a；
即x＜1，f（x）=2^2-x-a，
∵f（x）=x有且僅有兩個實數(shù)根，∴方程2^2-x=x+a有且僅有兩解，在同一坐標系中作出y=2^2-x與y=x+a圖象如下圖：

∴f（x）=x有且僅有兩個實數(shù)根，只要直線y=x+a介于圖中兩直線之間即可．
依f（x）=2^2-x可求出A點坐標為（0，4），B點坐標為（1，4），
∵A，B兩點均為虛點，
∴3≤a＜4．
故答案為[3，4）．

點評：本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，著重考查函數(shù)的周期性的應用，作圖是關鍵，也是難點，考查等價轉化思想與數(shù)形結合思想的綜合應用，屬于難題．