Question

設函數f（x）=[sin（x+

π

6

）+cosx]•sinx．
（1）求該函數圖象的對稱軸方程；
（2）設△ABC的三內角為A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且f（A）=

3 3

4

，

AC

•

BC

=

b2

2

，判斷△ABC的形狀．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,平面向量數量積的運算

專題：解三角形,平面向量及應用

分析：（1）由三角函數中的恒等變換應用化簡函數解析式可得f（x）=sin（2x-

π

6

）+

3

4

，由2x-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z即可解得函數圖象的對稱軸方程．
（2）由已知可解得sin（2A-

π

6

）=1，從而可解得：A=kπ+

π

3

，k∈Z，由0＜A＜π，可解得A=

π

3

，由

AC

•

BC

=

b2

2

，可得cosC=

a

2b

，由余弦定理可得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

，從而

a

2b

=

a2+b2-c2

2ab

，可解得b=c=a．

解答： 解：（1）∵f（x）=[sin（x+

π

6

）+cosx]•sinx=

3

2

sin²x+

3

4

sin2x=

3

2

sin（2x-

π

6

）+

3

4

．
∴由2x-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z即可解得：x=

kπ

2

+

π

3

，k∈Z．
∴函數圖象的對稱軸方程是：x=

kπ

2

+

π

3

，k∈Z．
（2）∵f（A）=

3

2

sin（2A-

π

6

）+

3

4

=

3 3

4

，
∴可解得：sin（2A-

π

6

）=1，從而有：2A-

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z
∴可解得：A=kπ+

π

3

，k∈Z
∵0＜A＜π，
∴可解得：A=

π

3

，
∵

AC

•

BC

=

b2

2

，
∴可得：2abcosC=b²，
∴有：cosC=

a

2b

，由余弦定理可得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

，
∴

a

2b

=

a2+b2-c2

2ab

，可解得：b²=c²，
∴b=c=a．
∴△ABC為等邊三角形．

點評：本題主要考查了三角函數中的恒等變換應用，考查了平面向量數量積的運算，余弦定理的應用，綜合性較強，屬于中檔題．