設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，點P在橢圓上且在x軸上方，|PF1|=7，|PF2|=5，cos∠F1F2P=
1
5
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）拋物線D：y2=4mx（m＞0）過點P，連接PF2并延長與拋物線D交于點Q，M是拋物線D上一動點（且M在P與Q之間運動），求△MPQ面積的最大值．
分析：（1）2a=||PF1|+|PF2|=7+5=12，a=6，由cos∠F1F2P=
1
5
，|PF2|=5，得2c=|F1F2|=1+5=6，c=3，由此能求出橢圓C的方程．
（2）由（1）知，點P的坐標(biāo)為（2，2
6
），拋物線D：y2=4mx（m＞0）過點P，故拋物線D：y2=12x．由P（2，2
6
），F(xiàn)2（3，0），得直線PF2的方程為y=-2
6
x+6
6
，聯(lián)立
y2=12x
y=-2
6
x+6
6
，得2x2-13x+18=0，解得P（2，2
6
），Q（
9
2
，-3
6
），先求出|PQ|，再求出M到直線y=-2
6
x+6
6
的最大距離，由此能求出△MPQ面積的最大值．
解答：解：（1）2a=||PF1|+|PF2|=7+5=12，a=6，
如圖，過P點作PO⊥x軸，交x軸與點O，

∵cos∠F1F2P=
1
5
，|PF2|=5，
∴|OF1|=1，∴|PO|=
25-1
=2
6
，
∵|PF1|=7，∴|F1O|=
49-24
=5，
2c=|F1F2|=1+5=6，c=3，
b2=a2-c2=25-9=16，
∴橢圓C的方程是
x2
25
+
y2
16
=1．
（2）由（1）知，點P的坐標(biāo)為（2，2
6
），
∵拋物線D：y2=4mx（m＞0）過點P，
∴24=16m，解得m=3，∴拋物線D：y2=12x．
∵P（2，2
6
），F(xiàn)2（3，0），
∴直線PF2的方程為：
y
x-3
=
2
6
2-3
，即y=-2
6
x+6
6
，
聯(lián)立
y2=12x
y=-2
6
x+6
6
，消去y，并整理，得2x2-13x+18=0，
解得x=2，或x=
9
2
，
∴P（2，2
6
），Q（
9
2
，-3
6
），|PQ|=
(2-
9
2
)2+(2
6
+3
6
)2
=
25
4
．
設(shè)M（x，
12x
），∵M在P與Q之間運動，∴0≤x≤
9
2
，0≤
x
≤
3
2
2
，
則M到直線y=-2
6
x+6
6
的距離d=
|2
6
x+
12x
-6
6
|
5
=
6
5
|2x+
2
x
-6|，
∴當(dāng)
x
=
3
2
2
時，dmax=
6
5
|9+3-6|=
6
6
5
，
∴△MPQ面積的最大值S=
1
2
×
25
4
×
6
6
5
=
15
6
4
．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．本題主要考查運算，整個題目的解答過程看起來非常繁瑣，注意運算．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞1）右焦點為F，它與直線l：y=k（x+1）相交于P、Q兩點，l與x軸的交點M到橢圓左準(zhǔn)線的距離為d，若橢圓的焦距是b與d+|MF|的等差中項．
（1）求橢圓離心率e；
（2）設(shè)N與M關(guān)于原點O對稱，若以N為圓心，b為半徑的圓與l相切，且
OP
•
OQ
=-
5
3
求橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左．右焦點分別為F1F2，上頂點為A，過點A與AF2垂直的直線交x軸負(fù)半軸于點Q，且2
F1F2
+
F2Q
=
0
．
（1）若過A．Q．F2三點的圓恰好與直線l：x-
3
y-3=0相切，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，過右焦點F2作斜率為k的直線l與橢圓C交于M．N兩點．試證明：
1
|F2M|
+
1
|F2N|
為定值；②在x軸上是否存在點P（m，0）使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出m的取值范圍，如果不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•鹽城一模）設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)恒過定點A（1，2），則橢圓的中心到準(zhǔn)線的距離的最小值
5
+2
5
+2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若P 是橢圓上的一點，|
PF1
|+|
PF2
|=4，離心率e=
3
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P 是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點，
PF1
•
PF2
=-
5
4
，求點P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)過定點P（0，2）的直線與橢圓交于不同的兩點A，B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e=
2
2
，以F1為圓心，|F1F2|為半徑的圓與直線x-
3
y-3=0相切．
（I）求橢圓C的方程；
（II）直線y=x交橢圓C于A、B兩點，D為橢圓上異于A、B的點，求△ABD面積的最大值．

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同步練習(xí)冊答案