【題目】如圖,在四棱錐中,側(cè)棱
底面
,
,
,
,
是棱
的中點(diǎn).
(1)求證:平面
;
(2)若,點(diǎn)
是線段
上一點(diǎn),且
,求直線
與平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】
(1)的中點(diǎn)
,連接
,
,證明四邊形
是平行四邊形可得
,故而
平面
;
(2)以為原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系,求出平面
的法向量
,計(jì)算
與
的夾角的余弦值得出答案.
(1)證明:取的中點(diǎn)
,連接
,
,
,
分別是
,
的中點(diǎn),
,
,
又,
,
,
,
四邊形
是平行四邊形,
,
又平面
,
平面
,
平面
.
(2)解:,
,
又,故
,
以為原點(diǎn),以
,
,
為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系
,
則,0,
,
,0,
,
,2,
,
,0,
,
,2,
,
是
的中點(diǎn),
是
的三等分點(diǎn),
,1,
,
,
,
,
,
,
,
,0,
,
,2,
,
設(shè)平面的法向量為
,
,
,則
,即
,
令可得
,
,
,
,
,
直線
與平面
所成角的正弦值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知矩形中,
,E,F分別為
,
的中點(diǎn).沿
將矩形
折起,使
,如圖所示.設(shè)P、Q分別為線段
,
的中點(diǎn),連接
.
(1)求證:平面
;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,湖中有一個(gè)半徑為千米的圓形小島,岸邊點(diǎn)
與小島圓心
相距
千米,為方便游人到小島觀光,從點(diǎn)
向小島建三段棧道
,
,
,湖面上的點(diǎn)
在線段
上,且
,
均與圓
相切,切點(diǎn)分別為
,
,其中棧道
,
,
和小島在同一個(gè)平面上.沿圓
的優(yōu)�。▓A
上實(shí)線部分)上再修建棧道
.記
為
.
用
表示棧道的總長度
,并確定
的取值范圍;
求當(dāng)
為何值時(shí),棧道總長度最短.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角梯形中,E,F分別為AB的三等分點(diǎn),
,
,
,
若沿著FG,ED折疊使得點(diǎn)A,B重合,如圖2所示,連結(jié)GC,BD
(1)求證:平面平面BCDE;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前
項(xiàng)和為
,其中
為常數(shù).
(1)證明: ;
(2)是否存在,使得
為等差數(shù)列?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),判斷函數(shù)
,(
)有幾個(gè)零點(diǎn),并證明你的結(jié)論;
(3)設(shè)函數(shù),若函數(shù)
在
為增函數(shù),求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)的某個(gè)維度的測(cè)評(píng)中,依據(jù)評(píng)分細(xì)則,學(xué)生之間相互打分,最終將所有的數(shù)據(jù)合成一個(gè)分?jǐn)?shù),滿分100分,按照大于或等于80分的為優(yōu)秀,小于80分的為合格,為了解學(xué)生的在該維度的測(cè)評(píng)結(jié)果,在畢業(yè)班中隨機(jī)抽出一個(gè)班的數(shù)據(jù).該班共有60名學(xué)生,得到如下的列聯(lián)表:
優(yōu)秀 | 合格 | 總計(jì) | |
男生 | 6 | ||
女生 | 18 | ||
合計(jì) | 60 |
已知在該班隨機(jī)抽取1人測(cè)評(píng)結(jié)果為優(yōu)秀的概率為.
(1)完成上面的列聯(lián)表;
(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為性別與測(cè)評(píng)結(jié)果有關(guān)系?
(3)現(xiàn)在如果想了解全校學(xué)生在該維度的表現(xiàn)情況,采取簡單隨機(jī)抽樣方式在全校學(xué)生中抽取少數(shù)一部分來分析,請(qǐng)你選擇一個(gè)合適的抽樣方法,并解釋理由.
附:
0.25 | 0.10 | 0.025 | |
1.323 | 2.706 | 5.024 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某省從2021年開始將全面推行新高考制度,新高考“”中的“2”要求考生從政治、化學(xué)、生物、地理四門中選兩科,按照等級(jí)賦分計(jì)入高考成績,等級(jí)賦分規(guī)則如下:從2021年夏季高考開始,高考政治、化學(xué)、生物、地理四門等級(jí)考試科目的考生原始成績從高到低劃分為
五個(gè)等級(jí),確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為
,
,
,
,
,等級(jí)考試科目成績計(jì)入考生總成績時(shí),將
至
等級(jí)內(nèi)的考生原始成績,依照等比例轉(zhuǎn)換法分別轉(zhuǎn)換到
、
、
、
、
五個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間,得到考生的等級(jí)分,等級(jí)轉(zhuǎn)換分滿分為100分.具體轉(zhuǎn)換分?jǐn)?shù)區(qū)間如下表:
等級(jí) | |||||
比例 | |||||
賦分區(qū)間 |
而等比例轉(zhuǎn)換法是通過公式計(jì)算:
其中,
分別表示原始分區(qū)間的最低分和最高分,
、
分別表示等級(jí)分區(qū)間的最低分和最高分,
表示原始分,
表示轉(zhuǎn)換分,當(dāng)原始分為
,
時(shí),等級(jí)分分別為
、
假設(shè)小南的化學(xué)考試成績信息如下表:
考生科目 | 考試成績 | 成績等級(jí) | 原始分區(qū)間 | 等級(jí)分區(qū)間 |
化學(xué) | 75分 |
|
設(shè)小南轉(zhuǎn)換后的等級(jí)成績?yōu)?/span>,根據(jù)公式得:
,
所以(四舍五入取整),小南最終化學(xué)成績?yōu)?7分.
已知某年級(jí)學(xué)生有100人選了化學(xué),以半期考試成績?yōu)樵汲煽冝D(zhuǎn)換本年級(jí)的化學(xué)等級(jí)成績,其中化學(xué)成績獲得等級(jí)的學(xué)生原始成績統(tǒng)計(jì)如下表:
成績 | 95 | 93 | 91 | 90 | 88 | 87 | 85 |
人數(shù) | 1 | 2 | 3 | 2 | 3 | 2 | 2 |
(1)從化學(xué)成績獲得等級(jí)的學(xué)生中任取2名,求恰好有1名同學(xué)的等級(jí)成績不小于96分的概率;
(2)從化學(xué)成績獲得等級(jí)的學(xué)生中任取5名,設(shè)5名學(xué)生中等級(jí)成績不小于96分人數(shù)為
,求
的分布列和期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】根據(jù)氣象部門預(yù)報(bào),在距離某個(gè)碼頭A南偏東45°方向的600km處的熱帶風(fēng)暴中心B正以30km/h的速度向正北方向移動(dòng),距離風(fēng)暴中心450km以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響,從現(xiàn)在起經(jīng)過___小時(shí)后該碼頭A將受到熱帶風(fēng)暴的影響(精確到0.01).
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