Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知P（x₀，y₀）是圓C：x²+（y-4）²=1外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)分別為A，B，記四邊形PACB的面積為f（P），當(dāng)P（x₀，y₀）在圓D：（x+4）²+（y-1）²=9上運(yùn)動(dòng)時(shí)，f（P）的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線方程

專(zhuān)題：計(jì)算題,直線與圓

分析：根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形，連接CD并延長(zhǎng)，與圓D分別交于M、N，由圓C與圓D的方程得出圓心C、D的坐標(biāo)，即各自的半徑r與R，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心距|CD|的長(zhǎng)，當(dāng)P在N處時(shí)，四邊形ACBP面積最小；當(dāng)P在M處時(shí)，四邊形ACBP面積最大，分別求出即可得到f（P）的范圍．

解答： 解：由題意得到圓心C（0，4），半徑r=1；圓心D（-4，1），半徑R=3，
∴|CD|=5，
∴|CN|=5-2=3，|CM|=5+2=7，
當(dāng)P位于圖形中的N位置時(shí)，四邊形ACBP面積最小，
過(guò)P作圓C的切線，切點(diǎn)分別為A、B，連接AC，BC，可得出|AC|=|BC|=1，且CA⊥AP，CB⊥BP，
在Rt△ACP中，根據(jù)勾股定理得：AP=

3

，
此時(shí)S_{四邊形ACBP}=2S_△ACP=AP•AC=

3

；
當(dāng)P位于圖形中的M位置時(shí)，四邊形ACBP面積最大，
同理得到S_{四邊形ACBP}=3

7

，
綜上，f（P）的范圍為[

3

，3

7

]．
故答案為：[

3

，3

7

]．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，兩點(diǎn)間的距離公式，以及勾股定理，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中重要的思想方法，做題時(shí)注意靈活運(yùn)用．