Question

已知拋物線C：y²=ax與雙曲線

x2

2

-

y2

2

=1的右焦點重合．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過點A（2.0）作傾斜角為

π

4

的直角，與拋物線C交于M、N兩點，判斷∠MON是否為直角．若角MON為直角，請給出證明：若不是直角，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,拋物線的標準方程,雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）確定雙曲線

x2

2

-

y2

2

=1的右焦點為（2，0），可得

a

4

=2，即可求拋物線C的方程；
（2）由題意得直線方程為y=x-2，與拋物線方程聯(lián)立，證明x₁x₂+y₁y₂=4-16≠0，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）雙曲線

x2

2

-

y2

2

=1的右焦點為（2，0），故

a

4

=2，解得a=8．
∴所求拋物線方程為y²=8x；
（2）由題意得直線方程為y=x-2，設(shè)交點坐標為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
聯(lián)立方程組

y=x-2 y2=8x

，可化為x²-12x+4=0，△＞0
∴x₁+x₂=12，x₁x₂=4，
∴y₁y₂=（x₁-2）（x₂-2）=-16，
故x₁x₂+y₁y₂=4-16≠0，
∴OM、ON不垂直，即∠MON不是直角．

點評：本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，確定拋物線方程是關(guān)鍵．