Question

等比數(shù)列{a_n}的前n 項和為S_n，已知S₁，S₂，S₃成等差數(shù)列，且a₁-a₃=3
（1）求{a_n}的公比q及通項公式a_n；
（2）b_n=

n

an

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）依題意有a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2)，從而q=-

1

2

，a₁=4．由此能求出an=4•(-

1

2

)n-1．
（2）b_n=

n

an

=

n

4(- 1 2 )n-1

=

n(-2)n-1

4

，由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）依題意有a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2)，
∵a₁≠0，∴2q²+q=0，
∵q≠0，∴q=-

1

2

，
∴a1-a1(-

1

2

)2=3，
解得a₁=4．
∴an=4•(-

1

2

)n-1．
（2）b_n=

n

an

=

n

4(- 1 2 )n-1

=

n(-2)n-1

4

，
Tn=

1

4

[1×(-2)0+2×(-2)+3×(-2)2+…+n×（-2）^n-1]，
-2T_n=

1

4

[1×（-2）+2×（-2）²+3×（-2）³+…+n×（-2）ⁿ]，
兩式相減，得：
3T_n=

1

4

[1+（-2）+（-2）²+…+（-2）^n-1-n×（-2）ⁿ]
=

1

4

[

1

3

-

(-2)n

3

-n×(-2)n]，
∴Tn =

1

36

-

(3n+1)(-2)n

36

．

點評：本題考查{a_n}的公比q及通項公式a_n的求法，考查數(shù)列{b_n}的前n項和T_n的求法，是中檔題，解題時要注意錯位相減法的合理運用．