Question

已知：①函數(shù)f（x）-x²-alnx在區(qū)間（1，2]上是增函數(shù)，②函數(shù)g（x）=x-a在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)．
（Ⅰ）在條件①②下，求a的值；
（Ⅱ）在條件①下，設h（x）=e^2x+|e^x-a|，x∈[0，ln3]，求函數(shù)h（x）的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求出導函數(shù)f'（x），根據(jù)題意可知當x∈（1，2]時，f'（x）≥0恒成立，可求出a的取值范圍，同理根據(jù)題意可知x∈（0，1]時，g'（x）≤0恒成立，從而求出a的取值范圍，結(jié)合兩者可求出a的值；
（Ⅱ）設t=e^x，由x∈[0，ln3]則t∈[1，3]，則m（t）=t²+|t-a|，討論a，利用函數(shù)的單調(diào)性分別求出函數(shù)的最值即可．
解答：解：（Ⅰ）f'（x）=2x-，依題意，當x∈（1，2]時，f'（x）≥0恒成立，
即a≤（2x²）_min⇒a≤2；…①…（3分）
g'（x）=1-依題意，當x∈（0，1]時，g'（x）≤0恒成立，⇒a≥2；…②…（5分）
由①②得：a=2…（6分）
（Ⅱ）設t=e^x，由x∈[0，ln3]，知t∈[1，3]，則m（t）=t²+|t-a|
當a≤1時，m（t）=t²+t-a在[1，3]上是增函數(shù)，
∴m（t）_min=m（1）=2-a…（8分）
當1＜a≤2時，m（t）=…（10分）
∵m（t）在[a，3]上是增函數(shù)，在[1，a]上也是增函數(shù)，又m（t）在[1，3]上是連續(xù)函數(shù)，
∴m（t）在[1，3]上是增函數(shù)，
∴m（t）_min=m（1）=a；
綜上所述：h（x）_min=…（12分）
點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，同時考查了分類討論的思想，屬于中檔題．