Question

設(shè)

OA

=（5，1），

OB

=（1，7），

OC

=（4，2），且

OM

=t

OC

（1）是否存在實(shí)數(shù)t，使

MA

⊥

MB

？若存在，求出實(shí)數(shù)t；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）求使

MA

•

MB

取最小值點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）

MA

⊥

MB

，就得到

MA

•

MB

=0，∴根據(jù)條件分別求出

MA

，

MB

的坐標(biāo)，帶入

MA

•

MB

=0進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，看能不能求出t即可．
（2）利用上步求出的

MA

•

MB

，得到關(guān)于t的一個(gè)式子，可以看成關(guān)于t的函數(shù)，求使函數(shù)取最小值的t即可．

解答： 解：（1）

OM

=(4t，2t)，若

MA

⊥

MB

，則

MA

•

MB

=0；
∵

MA

=

OA

-

OM

=（5-4t，1-2t），

MB

=

OB

-

OM

=（1-4t，7-2t）；
∴（5-4t）（1-4t）+（1-2t）（7-2t）=0，即5t²-10t+3=0；
∴t=

5± 10

5

．
（2）

MA

•

MB

=20t2-40t+12=20(t-1)2-8；
∴t=1時(shí)，

MA

•

MB

取最小值，此時(shí)M（4，2）．

點(diǎn)評(píng)：考查的知識(shí)點(diǎn)為：向量坐標(biāo)的減法運(yùn)算，數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，二次函數(shù)最值．注意對(duì)二次函數(shù)進(jìn)行配方求最值及此時(shí)的自變量值．