Question

若關(guān)于x的方程

1-x2

=kx+2有惟一的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先，設(shè)函數(shù)y=

1-x2

與函數(shù)y=kx+2，然后，根據(jù)兩個(gè)圖形，借助于直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解．

解答： 解：設(shè)函數(shù)y=

1-x2

與函數(shù)y=kx+2，
則函數(shù)y=

1-x2

的圖象是一個(gè)以（0，0）為圓心，以1為半徑的圓的上半部分，
函數(shù)y=kx+2的圖象則為恒過(guò)定點(diǎn)（0，2）的直線(xiàn)，
因?yàn)殛P(guān)于x的方程

1-x2

=kx+2有惟一的實(shí)數(shù)解，
∴兩個(gè)圖象有一個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)直線(xiàn)與圓相切時(shí)，
此時(shí)，

2

k2 +1

=1，
∴k=±

3

，
當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（-1，0）和（1，0）時(shí)，
解得k=-2，k=2，
此時(shí)，k＜-2或k＞2
綜上，符合條件的范圍為：k＜-2或k＞2或k=±

3

．
故答案為：k＜-2或k＞2或k=±

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了方程的根和函數(shù)的零點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，理解數(shù)形結(jié)合思想在求解問(wèn)題中的應(yīng)用，屬于中檔題．